MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0opn Structured version   Unicode version

Theorem 0opn 16967
Description: The empty set is an open subset of a topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
0opn  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)

Proof of Theorem 0opn
StepHypRef Expression
1 uni0 4034 . 2  |-  U. (/)  =  (/)
2 0ss 3648 . . 3  |-  (/)  C_  J
3 uniopn 16960 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  J )  ->  U. (/)  e.  J
)
42, 3mpan2 653 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  U. (/)  e.  J
)
51, 4syl5eqelr 2520 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   Topctop 16948
This theorem is referenced by:  0ntop  16968  istps2OLD  16976  topgele  16989  tgclb  17025  0top  17038  en1top  17039  en2top  17040  topcld  17089  clsval2  17104  ntr0  17135  opnnei  17174  0nei  17182  restrcl  17211  rest0  17223  ordtrest2lem  17257  iocpnfordt  17269  icomnfordt  17270  cnindis  17346  iscon2  17467  kqtop  17767  mopn0  18518  sxbrsigalem3  24612  cnambfre  26218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-dif 3315  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-pw 3793  df-sn 3812  df-uni 4008  df-top 16953
  Copyright terms: Public domain W3C validator