Theorem 0r 5172

Description: The constant 0R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
0r	|- 0R e. R.

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 5100	. . . 4 |- 1P e. P.
2		opelxpi 3213	. . . 4 |- ((1P e. P. /\ 1P e. P.) -> <.1P, 1P>. e. (P. X. P.))
3	1, 1, 2	mp2an 696	. . 3 |- <.1P, 1P>. e. (P. X. P.)
4		enrex 5161	. . . 4 |- ~R e. V
5	4	ecelqsi 4285	. . 3 |- (<.1P, 1P>. e. (P. X. P.) -> [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 |- [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R )
7		df-0r 5154	. . 3 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
8		df-nr 5150	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
9	7, 8	eleq12i 1537	. 2 |- (0R e. R. <-> [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
10	6, 9	mpbir 190	1 |- 0R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 957  <.cop 2408   X. cxp 3164  [cec 4252  /.cqs 4253  P.cnp 4968  1Pc1p 4969   ~R cer 4975  R.cnr 4976  0Rc0r 4977

This theorem is referenced by:  addgt0sr 5196  sqgt0sr 5198  ssgt0sr 5200  suppsr2 5206  suppsr3 5207  supsrlem2 5209  supsr 5214  opelreal 5232  elreal 5233  eqresr 5238  addresr 5239  mulresr 5240  axresscn 5251  axicn 5253  ax0id 5264  ax1id 5265  axi2m1 5268  axcnre 5269  pre-axmulgt0 5273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-enr 5149  df-nr 5150  df-0r 5154

Copyright terms: Public domain