Theorem 0re 5594

Description: 0 is a real number. Proved without referencing 1re 5589. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0re	|- 0 e. RR

Proof of Theorem 0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5482	. . . 4 |- 0 e. CC
2		axcnre 5440	. . . 4 |- (0 e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))
4		df-rex 1696	. . . 4 |- (E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) <-> E.x(x e. RR /\ E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))))
5		pm3.26 317	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))) -> x e. RR)
6	5	19.22i 1076	. . . 4 |- (E.x(x e. RR /\ E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))) -> E.x x e. RR)
7	4, 6	sylbi 197	. . 3 |- (E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.x x e. RR)
8	3, 7	ax-mp 7	. 2 |- E.x x e. RR
9		axrnegex 5437	. . . 4 |- (x e. RR -> E.y e. RR (x + y) = 0)
10		pm3.27 321	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (x + y) = 0) -> (x + y) = 0)
11		readdcl 5456	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x + y) e. RR)
12	11	adantr 389	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (x + y) = 0) -> (x + y) e. RR)
13	10, 12	eqeltrrd 1592	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (x + y) = 0) -> 0 e. RR)
14	13	ex 371	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((x + y) = 0 -> 0 e. RR))
15	14	r19.23adva 1793	. . . 4 |- (x e. RR -> (E.y e. RR (x + y) = 0 -> 0 e. RR))
16	9, 15	mpd 26	. . 3 |- (x e. RR -> 0 e. RR)
17	16	19.23aiv 1333	. 2 |- (E.x x e. RR -> 0 e. RR)
18	8, 17	ax-mp 7	1 |- 0 e. RR

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  E.wrex 1692  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  ici 5390   + caddc 5391   x. cmul 5393

This theorem is referenced by:  axmulgt0 5660  addgt0i 5752  addge0i 5753  addgegt0i 5754  add20i 5756  mulge0i 5761  gt0ne0i 5765  lesub0i 5766  msqgt0i 5767  msqge0i 5768  msqgt0 5769  msqge0 5770  gt0ne0 5772  ne0gt0 5773  ltadd1 5777  leadd1 5779  ltsubadd 5781  lesubadd 5783  ltmullem 5794  lt2add 5797  le2add 5798  addgt0 5801  addgegt0 5802  addge0 5804  ltaddpos 5805  ltneg 5809  leneg 5811  lt0neg1 5822  lt0neg2 5823  le0neg1 5824  le0neg2 5825  addge01 5826  lesub0 5832  mulge0 5833  mulge0OLD 5834  redivcl 5940  elimge0 5950  recgt0ii 5954  ltm1 5955  prodgt0lem 5958  prodgt0i 5959  prodge0i 5960  prodgt0 5966  prodge0 5968  ltmul1 5970  lemul1a 5981  lemul1aOLD 5982  ltmul12a 5985  lemul12aOLD 5987  lemul12a 5988  mulgt1 5989  lemulge11 5992  ltdiv1 5993  ltdiv1OLD 5994  gt0div 5997  ge0div 5998  ltmuldiv 6007  ltmuldivOLD 6008  lt2msqi 6026  ltrec 6029  lerec 6030  lt2msq 6031  lediv12a 6041  recgt1i 6045  recreclt 6047  le2msq 6048  halfposi 6049  ledivp1 6050  ledivp1i 6051  ltdivp1i 6052  squeeze0 6069  nnge1 6088  nngt0 6091  0nnn 6093  nnrecgt0 6099  nnleltp1 6100  halfpos 6182  rpge0 6200  rpneg 6211  0nrp 6212  xrsupsslem 6244  xrinfmsslem 6245  nn0ssre 6271  lt0nnn0 6284  nn0ge0 6285  nn0le0eq0 6287  nn0ltp1le 6295  elnnz 6313  0z 6314  elnn0z 6315  elnnz1 6323  nn0sub 6329  elnn0nn 6339  zltp1le 6349  recnz 6362  gtndiv 6364  uzindOLD 6379  qsqueeze 6420  flhalf 6446  ioopos 6520  icoshftf1olem 6537  icoun 6540  snunioo 6542  elfz2nn0 6625  cardfz 6671  seq1lem2 6675  ser1monoi 6702  expge0 6785  expordi 6797  exple1 6804  expubnd 6805  sq11 6826  le2sq2 6829  sqge0 6830  sumsqne0i 6831  sqlecan 6838  bernneq2 6851  expnbnd 6852  expnlbnd 6853  expnlbnd2 6854  discrlem1 6857  discrlem3 6859  discrlem 6860  nnesqi 6863  sqr0 6873  sqrlem1 6874  sqrlem2 6875  sqrlem5 6878  sqrlem6 6879  sqrlem8 6881  sqrlem11 6884  sqrlem12 6885  sqrlem15 6888  sqrlem19 6892  sqrlem24 6897  sqrgt0ii 6898  sqrlem26 6899  sqrthi 6900  sqrcli 6901  sqrge0i 6903  sqrmuli 6906  sqrcl 6911  sqrgt0 6912  sqrge0 6913  sqrle 6914  sqr00 6915  sqr1 6917  sqr4 6918  sqr9 6919  sqr2gt1lt2 6920  sqrsq 6923  sqsqr 6924  sqr2irrlem1 6925  sqr2irrlem4 6928  sqr2irr 6930  inelr 6936  cru 6939  crne0i 6940  rimul 6945  nthruz 6947  re0 7021  im0 7022  rei 7025  imi 7026  cj0 7027  absgt0i 7045  absrpcl 7057  absid 7064  leabs 7066  absor 7067  absexp 7070  leabsi 7075  abslt 7083  absle 7084  abs1mi 7107  abs3lem 7110  facdiv 7145  facwordi 7147  faclbnd3 7150  faclbnd4lem1 7151  bcval4 7164  bcpasci 7172  bccl2 7174  fsumcmp0 7244  serzcmp0 7258  climrecl 7313  climge0 7315  iserzcmp0 7346  ser1cmp0i 7378  cvgcmpi 7388  cvgcmpubi 7389  cvgcmp3cetlem1 7392  cvgcmp3cetlem2 7393  iserzgt0 7415  reccnv 7422  arisumi 7430  expcnvlem2 7432  expcnvlem6 7436  georeclim 7445  geoisumr 7448  0.999... 7451  cvgratlem4 7458  cvgratlem5 7459  reefcl 7523  erelem2 7525  erelem3 7526  efaddlem12 7554  efaddlem20 7562  efaddlem25 7567  eftabsi 7580  ef01tllem2 7589  ef01tllem2OLD 7590  ef01tlubi 7591  absef01tlubi 7593  abspef01tlubi 7603  efgt1i 7611  efgt0i 7612  efgt0 7613  reef11 7617  absefm1lei 7620  eflegeolem2 7622  eflegeo 7624  reeff1olem1 7632  reeff1o 7634  reefiso 7636  sin0 7652  cos0 7654  sinbnd 7674  cosbnd 7675  sin01bndlem1 7676  sin01bndlem2 7677  sin01bndlem3 7678  cos01bndlem2 7679  cos01bndlem3 7680  cos1bnd 7683  cos2bnd 7684  sin01gt0 7685  cos01gt0 7686  sin02gt0 7687  sincos1sgn 7688  sincos2sgn 7689  sin4lt0 7690  absefib 7693  efieq1re 7694  znnenlem 7713  znnen 7714  ruclem8 7729  ruclem39 7760  metgt0 8030  metxp 8044  dscmet 8129  lmnn 8146  gxnval 8316  readdsubg 8370  nvm1 8539  nvz0 8543  nvmtri 8546  nv1 8551  sm1cnilem 8601  ipid 8617  nmosetn0 8682  nmoge0 8684  nmo0 8706  0blo 8707  nmlno0lem 8708  nmlnoubi 8711  nmlnogt0 8712  nmblolbii 8714  blocnilem 8719  siilem2 8768  ubthlem10 8796  ubthlem12 8798  ubthlem12OLD 8799  ubthlem13 8800  ubthlem13OLD 8801  minveclem10 8814  minveclem14 8818  minveclem16 8820  minveclem21 8825  minveclem25 8829  minveclem35 8839  minveclem38 8842  minveceu 8843  htthlem10 8891  pilem1 8938  pilem2 8939  pilem3 8940  sinhalfpilem 8946  sinperlem1 8953  sincosq1lem 8970  sincosq1sgn 8971  sincosq2sgn 8972  sinq12gt0t 8975  sinq34lt0t 8976  sincos4thpi 8978  sincos6thpi 8979  coskpi 8982  sineq0 8983  sineq0OLD 8984  sineq0re 8985  cosh111lem1 8986  cosh111 8989  efif 8993  efifolem1 8994  efifolem2 8995  efifolem3 8996  efifolem4 8997  efifolem5 8998  efifolem6 8999  efifolem7 9000  efif1lem1 9002  efif1lem2 9003  efif1lem3 9004  efif1lem5 9006  efif1lem6 9007  efif1lem7 9008  circgrp 9012  resslogrn 9025  log1 9038  pilog 9040  hiidge0 9240  his6 9241  normlem6 9257  normlem7tALT 9261  normgt0OLD 9269  normgt0 9270  norm-i 9272  norm-ii.i 9280  normsubi 9284  normpyc 9289  normpar2i 9299  bcsiALT 9322  hlimcauii 9382  norm1 9397  occllem7 9455  projlem1 9462  projlem2 9463  projlem4 9465  projlem5 9466  projlem6 9467  projlem7 9468  projlem8 9469  projlem13 9474  projlem18 9479  projlem28 9489  pjthlem10 9504  pjthlem11 9505  osumlem3 9858  pjneli 9946  nmopsetn0 10072  nmfnsetn0 10085  nmopge0 10115  nmopgt0 10116  nmfnge0 10131  nmop0 10189  nmfn0 10190  0bdop 10197  nmlnop0iALT 10199  unopbd 10219  nmbdoplbi 10228  nmcopexlem3 10232  nmcopexlem5 10234  nmcoplbi 10237  lnopconi 10242  nmbdfnlbi 10257  nmbdfnlb 10258  nmcfnexlem3 10261  nmcfnexlem5 10263  nmcfnlbi 10266  lnfnconi 10269  cnlnadjlem7 10285  nmopcoi 10307  unierri 10316  branmfn 10317  branmfnOLD 10318  leoprf2 10340  leoprf 10341  leopmul 10347  nmopleid 10352  pjbdlni 10356  hmopidmchlem 10358  pjnormssi 10376  hstle1 10434  stle0i 10447  strlem1 10458  strlem3a 10460  strlem5 10463  jplem1 10476  cdj3lem1 10643  nndivlub 10707  iintlem1 11155  epos 11414  reconnlem4 11510  reconnlem5 11511  add20 11858  rddif 11869  absrdbnd 11870  elnnr 11874  fsumltisumii 11885  fsumltisumi 11886  fsumleisumii 11888  fsumleisumi 11889  fsumlt1 11894  csbrni 11895  trirn 11897  geomcau 11914  iiuni 11933  dfii2 11934  iirev 11935  iihalf1 11936  iihalf2 11937  iimulcl 11938  lincmb01cmp 11942  lincmb01icc 11943  totbndbnd 12000  heiborlem18 12028  heiborlem32 12042  heiborlem35 12045  bfplem9 12062  bfp 12065  recms 12066  rrndm 12071  rrntotbnd 12078  iicmp 12084  phtpyid 12091  phtpycom 12092  phtpycolem1 12093  phtpycolem2 12094  phtpycolem3 12095  phtpycolem4 12096  phtpycolem5 12097  phtpyco 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400

Copyright terms: Public domain