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Theorem 0rrv 24692
Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
0rrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
Assertion
Ref Expression
0rrv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Distinct variable group:    x, P
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem 0rrv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9075 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21rgenw 2760 . . . 4  |-  A. x  e.  U. dom  P 0  e.  RR
3 eqid 2430 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
43fmpt 5876 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. dom  P
0  e.  RR  <->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
52, 4mpbi 200 . . 3  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR
65a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
7 fconstmpt 4907 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
87cnveqi 5033 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )
9 cnvxp 5276 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  U. dom  P )
108, 9eqtr3i 2452 . . . . . . . 8  |-  `' ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )  =  ( { 0 }  X.  U.
dom  P )
1110imaeq1i 5186 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
) " y )
12 df-ima 4877 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P ) "
y )  =  ran  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
13 df-rn 4875 . . . . . . 7  |-  ran  (
( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )
1411, 12, 133eqtri 2454 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
15 df-res 4876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  i^i  ( y  X.  _V ) )
16 inxp 4993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  i^i  ( y  X.  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )
17 inv1 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  i^i  _V )  =  U. dom  P
1817xpeq2i 4885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
1915, 16, 183eqtri 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
2019cnveqi 5033 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  `' ( ( { 0 }  i^i  y
)  X.  U. dom  P )
2120dmeqi 5057 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P )
22 cnvxp 5276 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )  =  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2322dmeqi 5057 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P
)  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2414, 21, 233eqtri 2454 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
25 xpeq2 4879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  ( U. dom  P  X.  (/) ) )
26 xp0 5277 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  (/) )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
2827dmeqd 5058 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
29 dm0 5069 . . . . . . . 8  |-  dom  (/)  =  (/)
3028, 29syl6eq 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
3130adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
32 0rrv.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
33 domprobsiga 24652 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
34 0elsiga 24480 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
P  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  dom  P )
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  P )
3635adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  dom  P )
3731, 36eqeltrd 2504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
3824, 37syl5eqel 2514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
39 dmxp 5074 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  = 
U. dom  P )
4039adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  U. dom  P
)
4132unveldomd 24656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4241adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. dom  P  e.  dom  P )
4340, 42eqeltrd 2504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
4424, 43syl5eqel 2514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4538, 44pm2.61dane 2671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4645ralrimivw 2777 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4732isrrvv 24684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
) ) )
486, 46, 47mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   _Vcvv 2943    i^i cin 3306   (/)c0 3615   {csn 3801   U.cuni 4002    e. cmpt 4253    X. cxp 4862   `'ccnv 4863   dom cdm 4864   ran crn 4865    |` cres 4866   "cima 4867   -->wf 5436   ` cfv 5440   RRcr 8973   0cc0 8974  sigAlgebracsiga 24473  𝔅cbrsiga 24518  Probcprb 24648  rRndVarcrrv 24681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-ioo 10904  df-topgen 13650  df-top 16946  df-bases 16948  df-esum 24408  df-siga 24474  df-sigagen 24505  df-brsiga 24519  df-meas 24533  df-mbfm 24584  df-prob 24649  df-rrv 24682
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