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Theorem 0rrv 24481
Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
0rrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
Assertion
Ref Expression
0rrv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Distinct variable group:    x, P
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem 0rrv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9017 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21rgenw 2709 . . . 4  |-  A. x  e.  U. dom  P 0  e.  RR
3 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
43fmpt 5822 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. dom  P
0  e.  RR  <->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
52, 4mpbi 200 . . 3  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR
65a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
7 fconstmpt 4854 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
87cnveqi 4980 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )
9 cnvxp 5223 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  U. dom  P )
108, 9eqtr3i 2402 . . . . . . . 8  |-  `' ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )  =  ( { 0 }  X.  U.
dom  P )
1110imaeq1i 5133 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
) " y )
12 df-ima 4824 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P ) "
y )  =  ran  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
13 df-rn 4822 . . . . . . 7  |-  ran  (
( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )
1411, 12, 133eqtri 2404 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
15 df-res 4823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  i^i  ( y  X.  _V ) )
16 inxp 4940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  i^i  ( y  X.  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )
17 inv1 3590 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  i^i  _V )  =  U. dom  P
1817xpeq2i 4832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
1915, 16, 183eqtri 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
2019cnveqi 4980 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  `' ( ( { 0 }  i^i  y
)  X.  U. dom  P )
2120dmeqi 5004 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P )
22 cnvxp 5223 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )  =  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2322dmeqi 5004 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P
)  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2414, 21, 233eqtri 2404 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
25 xpeq2 4826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  ( U. dom  P  X.  (/) ) )
26 xp0 5224 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  (/) )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
2827dmeqd 5005 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
29 dm0 5016 . . . . . . . 8  |-  dom  (/)  =  (/)
3028, 29syl6eq 2428 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
3130adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
32 0rrv.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
33 domprobsiga 24441 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
34 0elsiga 24286 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
P  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  dom  P )
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  P )
3635adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  dom  P )
3731, 36eqeltrd 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
3824, 37syl5eqel 2464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
39 dmxp 5021 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  = 
U. dom  P )
4039adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  U. dom  P
)
4132unveldomd 24445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4241adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. dom  P  e.  dom  P )
4340, 42eqeltrd 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
4424, 43syl5eqel 2464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4538, 44pm2.61dane 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4645ralrimivw 2726 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4732isrrvv 24473 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
) ) )
486, 46, 47mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   _Vcvv 2892    i^i cin 3255   (/)c0 3564   {csn 3750   U.cuni 3950    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813   "cima 4814   -->wf 5383   ` cfv 5387   RRcr 8915   0cc0 8916  sigAlgebracsiga 24279  𝔅cbrsiga 24324  Probcprb 24437  rRndVarcrrv 24470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-ioo 10845  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-esum 24214  df-siga 24280  df-sigagen 24311  df-brsiga 24325  df-meas 24339  df-mbfm 24388  df-prob 24438  df-rrv 24471
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