Theorem 0sdom1dom 4671

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	|- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	0sdom 4612	. . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3		n0 2341	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
4	2, 3	bitri 171	. . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5		snssi 2530	. . . . 5 |- (x e. A -> {x} (_ A)
6		ssdom2g 4550	. . . . . 6 |- (A e. V -> ({x} (_ A -> {x} ~<_ A))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({x} (_ A -> {x} ~<_ A)
8		1on 4274	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 1864	. . . . . . 7 |- 1o e. V
10		visset 1859	. . . . . . . 8 |- x e. V
11	10	ensn1 4565	. . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
12	9, 11	ensymi 4554	. . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13		endomtr 4561	. . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 699	. . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
15	5, 7, 14	3syl 20	. . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
16	15	19.23aiv 1333	. . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
17	4, 16	sylbi 197	. 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18		df-1o 4269	. . . 4 |- 1o = suc (/)
19	18	breq1i 2699	. . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20		peano1 3237	. . . 4 |- (/) e. om
21		sucdomi 4670	. . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
22	20, 1, 21	mp2an 701	. . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
23	19, 22	sylbi 197	. 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
24	17, 23	impbii 155	1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   e. wcel 994  E.wex 1016   =/= wne 1628  Vcvv 1857   (_ wss 2099  (/)c0 2332  {csn 2467   class class class wbr 2692  Oncon0 2975  suc csuc 2977  omcom 3218  1oc1o 4264   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain