Theorem 0sdom1dom 4510

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	|- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	0sdom 4453	. . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3		ne0 2284	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
4	2, 3	bitr 173	. . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5		snssi 2462	. . . . 5 |- (x e. A -> {x} (_ A)
6		ssdom2g 4396	. . . . . 6 |- (A e. V -> ({x} (_ A -> {x} ~<_ A))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({x} (_ A -> {x} ~<_ A)
8		1on 4128	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 1814	. . . . . . 7 |- 1o e. V
10		visset 1809	. . . . . . . 8 |- x e. V
11	10	ensn1 4411	. . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
12	9, 11	ensymi 4400	. . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13		endomtr 4407	. . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 694	. . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
15	5, 7, 14	3syl 20	. . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
16	15	19.23aiv 1293	. . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
17	4, 16	sylbi 199	. 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18		df-1o 4123	. . . 4 |- 1o = suc (/)
19	18	breq1i 2621	. . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20		peano1 3144	. . . 4 |- (/) e. om
21		sucdomi 4509	. . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
22	20, 1, 21	mp2an 696	. . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
23	19, 22	sylbi 199	. 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
24	17, 23	impbi 157	1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 956  E.wex 978   =/= wne 1582  Vcvv 1807   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {csn 2405   class class class wbr 2614  Oncon0 2943  suc csuc 2945  omcom 3126  1oc1o 4118   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-1o 4123  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain