Theorem 0sdomg 4452

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty.

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 4398	. . . . 5 |- (A e. B -> ((/) ~~ A -> A ~~ (/)))
2		0ex 2706	. . . . . 6 |- (/) e. V
3	2	ensym 4399	. . . . 5 |- (A ~~ (/) -> (/) ~~ A)
4	1, 3	impbid1 516	. . . 4 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A ~~ (/)))
5		en0 4410	. . . 4 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
6	4, 5	syl6bb 535	. . 3 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A = (/)))
7	6	negbid 610	. 2 |- (A e. B -> (-. (/) ~~ A <-> -. A = (/)))
8		brsdom 4369	. . 3 |- ((/) ~< A <-> ((/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A))
9		0dom 4450	. . 3 |- (/) ~<_ A
10	8, 9	mpbiran 727	. 2 |- ((/) ~< A <-> -. (/) ~~ A)
11		df-ne 1584	. 2 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
12	7, 10, 11	3bitr4g 554	1 |- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (/)c0 2276   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  0sdom 4453  fodomr 4469  fodomfib 4547  fodomb 4780  hgrablkcard 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain