MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0spth Unicode version

Theorem 0spth 21554
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0spth  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Proof of Theorem 0spth
StepHypRef Expression
1 0ex 4326 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 isspth 21552 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( (/)  e.  _V  /\  P  e.  Z ) )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
31, 2mpanr1 665 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
4 0trl 21529 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Trails  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
54anbi1d 686 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) ) )
6 0z 10277 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 fzsn 11078 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98feq2i 5572 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  P : { 0 } --> V )
10 c0ex 9069 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1110fsn2 5894 . . . . . 6  |-  ( P : { 0 } --> V  <->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. } ) )
12 funcnvsn 5482 . . . . . . . 8  |-  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. }
13 cnveq 5032 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  `' P  =  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } )
1413funeqd 5461 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } ) )
1512, 14mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  Fun  `' P )
1615adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. } )  ->  Fun  `' P
)
1711, 16sylbi 188 . . . . 5  |-  ( P : { 0 } --> V  ->  Fun  `' P
)
189, 17sylbi 188 . . . 4  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  ->  Fun  `' P )
1918pm4.71i 614 . . 3  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
205, 19syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  P :
( 0 ... 0
) --> V ) )
213, 20bitrd 245 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2943   (/)c0 3615   {csn 3801   <.cop 3804   class class class wbr 4199   `'ccnv 4863   Fun wfun 5434   -->wf 5436   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   0cc0 8974   ZZcz 10266   ...cfz 11027   Trails ctrail 21490   SPaths cspath 21492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-card 7810  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-hash 11602  df-word 11706  df-wlk 21499  df-trail 21500  df-spth 21502
  Copyright terms: Public domain W3C validator