MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0spth Unicode version

Theorem 0spth 21418
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0spth  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Proof of Theorem 0spth
StepHypRef Expression
1 0ex 4273 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 isspth 21416 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( (/)  e.  _V  /\  P  e.  Z ) )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
31, 2mpanr1 665 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
4 0trl 21403 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Trails  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
54anbi1d 686 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) ) )
6 0z 10218 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 fzsn 11019 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98feq2i 5519 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  P : { 0 } --> V )
10 c0ex 9011 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1110fsn2 5840 . . . . . 6  |-  ( P : { 0 } --> V  <->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. } ) )
12 funcnvsn 5429 . . . . . . . 8  |-  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. }
13 cnveq 4979 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  `' P  =  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } )
1413funeqd 5408 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } ) )
1512, 14mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  Fun  `' P )
1615adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. } )  ->  Fun  `' P
)
1711, 16sylbi 188 . . . . 5  |-  ( P : { 0 } --> V  ->  Fun  `' P
)
189, 17sylbi 188 . . . 4  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  ->  Fun  `' P )
1918pm4.71i 614 . . 3  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
205, 19syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  P :
( 0 ... 0
) --> V ) )
213, 20bitrd 245 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   (/)c0 3564   {csn 3750   <.cop 3753   class class class wbr 4146   `'ccnv 4810   Fun wfun 5381   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   0cc0 8916   ZZcz 10207   ...cfz 10968   Trails ctrail 21366   SPaths cspath 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-hash 11539  df-word 11643  df-wlk 21374  df-trail 21375  df-spth 21377
  Copyright terms: Public domain W3C validator