MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0spth Structured version   Unicode version

Theorem 0spth 21609
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0spth  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Proof of Theorem 0spth
StepHypRef Expression
1 0ex 4370 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 isspth 21607 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( (/)  e.  _V  /\  P  e.  Z ) )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
31, 2mpanr1 666 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
4 0trl 21584 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Trails  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
54anbi1d 687 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) ) )
6 0z 10331 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 fzsn 11132 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98feq2i 5621 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  P : { 0 } --> V )
10 c0ex 9123 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1110fsn2 5944 . . . . . 6  |-  ( P : { 0 } --> V  <->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. } ) )
12 funcnvsn 5531 . . . . . . . 8  |-  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. }
13 cnveq 5081 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  `' P  =  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } )
1413funeqd 5510 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } ) )
1512, 14mpbiri 226 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  Fun  `' P )
1615adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. } )  ->  Fun  `' P
)
1711, 16sylbi 189 . . . . 5  |-  ( P : { 0 } --> V  ->  Fun  `' P
)
189, 17sylbi 189 . . . 4  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  ->  Fun  `' P )
1918pm4.71i 615 . . 3  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
205, 19syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  P :
( 0 ... 0
) --> V ) )
213, 20bitrd 246 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   _Vcvv 2965   (/)c0 3616   {csn 3843   <.cop 3846   class class class wbr 4243   `'ccnv 4912   Fun wfun 5483   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   0cc0 9028   ZZcz 10320   ...cfz 11081   Trails ctrail 21545   SPaths cspath 21547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-hash 11657  df-word 11761  df-wlk 21554  df-trail 21555  df-spth 21557
  Copyright terms: Public domain W3C validator