Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0totbnd Unicode version

Theorem 0totbnd 26600
 Description: The metric (there is only one) on the empty set is totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0totbnd

Proof of Theorem 0totbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . 3
21eleq2d 2363 . 2
3 fveq2 5541 . . . 4
43eleq2d 2363 . . 3
5 0elpw 4196 . . . . . . 7
6 0fin 7103 . . . . . . 7
7 elin 3371 . . . . . . 7
85, 6, 7mpbir2an 886 . . . . . 6
9 0iun 3975 . . . . . 6
10 iuneq1 3934 . . . . . . . 8
1110eqeq1d 2304 . . . . . . 7
1211rspcev 2897 . . . . . 6
138, 9, 12mp2an 653 . . . . 5
1413rgenw 2623 . . . 4
15 istotbnd3 26598 . . . 4
1614, 15mpbiran2 885 . . 3
174, 16syl6rbbr 255 . 2
182, 17bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   cin 3164  c0 3468  cpw 3638  ciun 3921  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  crp 10370  cme 16386  cbl 16387  ctotbnd 26593 This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26622 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-totbnd 26595
 Copyright terms: Public domain W3C validator