Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0trl Structured version   Unicode version

Theorem 0trl 21546
 Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a trail if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0trl Trails

Proof of Theorem 0trl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4339 . . 3
2 istrl 21537 . . 3 Trails Word ..^
31, 2mpanr1 665 . 2 Trails Word ..^
4 ral0 3732 . . . . 5
5 hash0 11646 . . . . . . . 8
65oveq2i 6092 . . . . . . 7 ..^ ..^
7 fzo0 11159 . . . . . . 7 ..^
86, 7eqtri 2456 . . . . . 6 ..^
98raleqi 2908 . . . . 5 ..^
104, 9mpbir 201 . . . 4 ..^
1110biantru 492 . . 3 Word Word ..^
125eqcomi 2440 . . . . . 6
1312oveq2i 6092 . . . . 5
1413feq2i 5586 . . . 4
15 wrd0 11732 . . . . . 6 Word
16 fun0 5508 . . . . . . 7
17 cnv0 5275 . . . . . . . 8
1817funeqi 5474 . . . . . . 7
1916, 18mpbir 201 . . . . . 6
2015, 19pm3.2i 442 . . . . 5 Word
2120biantrur 493 . . . 4 Word
2214, 21bitri 241 . . 3 Word
23 df-3an 938 . . 3 Word ..^ Word ..^
2411, 22, 233bitr4ri 270 . 2 Word ..^
253, 24syl6bb 253 1 Trails
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956  c0 3628  cpr 3815   class class class wbr 4212  ccnv 4877   cdm 4878   wfun 5448  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993  cfz 11043  ..^cfzo 11135  chash 11618  Word cword 11717   Trails ctrail 21507 This theorem is referenced by:  0trlon  21548  0pth  21570  0spth  21571  0crct  21613 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-wlk 21516  df-trail 21517
 Copyright terms: Public domain W3C validator