MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0unit Structured version   Unicode version

Theorem 0unit 15787
Description: The additive identity is a unit if and only if  1  =  0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0unit.1  |-  U  =  (Unit `  R )
0unit.2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
0unit.3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
0unit  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
e.  U  <->  .1.  =  .0.  ) )

Proof of Theorem 0unit
StepHypRef Expression
1 0unit.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 0unit.3 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 2, 3, 4unitrinv 15785 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  .0.  ) )  =  .1.  )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
71, 2, 6rnginvcl 15783 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
8 0unit.2 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
96, 3, 8rnglz 15702 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  .0.  )
)  =  .0.  )
107, 9syldan 458 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  .0.  ) )  =  .0.  )
115, 10eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  .1.  =  .0.  )
12 simpr 449 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .1.  =  .0.  )
131, 41unit 15765 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  U )
1413adantr 453 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .1.  e.  U )
1512, 14eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .0.  e.  U )
1611, 15impbida 807 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
e.  U  <->  .1.  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   .rcmulr 13532   0gc0g 13725   Ringcrg 15662   1rcur 15664  Unitcui 15746   invrcinvr 15778
This theorem is referenced by:  nzrunit  16339  fidomndrng  16369  gzrngunitlem  16765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779
  Copyright terms: Public domain W3C validator