Theorem 0z 6103

Description: Zero is an integer.

Assertion

Ref	Expression
0z	|- 0 e. ZZ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 6094	. 2 |- (0 e. ZZ <-> (0 e. RR /\ (0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN)))
2		0re 5423	. 2 |- 0 e. RR
3		eqid 1474	. . . 4 |- 0 = 0
4	3	orci 270	. . 3 |- (0 = 0 \/ (0 e. NN \/ -u0 e. NN))
5		3orass 777	. . 3 |- ((0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN) <-> (0 = 0 \/ (0 e. NN \/ -u0 e. NN)))
6	4, 5	mpbir 190	. 2 |- (0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN)
7	1, 2, 6	mpbir2an 729	1 |- 0 e. ZZ

Syntax hints:   \/ wo 222   \/ w3o 773   = wceq 955   e. wcel 957  RRcr 5216  0cc0 5217  -ucneg 5276  NNcn 5279  ZZcz 5281

This theorem is referenced by:  elnn0z 6104  nn0ssz 6109  znegclt 6120  elnn0nn 6128  recnzt 6148  gtndivt 6150  zeot 6156  nn0ind 6170  flge0nn0t 6197  btwnzge0t 6200  nn0uz 6383  nn0infm 6409  elfz2nn0t 6440  fznn0t 6461  fzshftralt 6467  nthruc 6691  cvganz 6876  bcpasc 6922  fsumshft 6984  binomlem6 7024  binom 7025  bcxmas 7029  clmi1 7039  clm4at 7043  clmi2at 7044  climconst2 7048  climconst3 7049  climunii 7051  2climnn0 7056  climshft 7057  climres 7058  climshft2 7059  serzclim0 7062  climaddlem3 7069  climmullem8 7080  serzf0 7122  ser1f0 7123  isumnn0nn 7159  isum0split 7169  fnsmnt 7178  geolimilem 7187  geolim1i 7190  geoisum 7194  fsum0diaglem1 7208  fsum0diaglem2 7209  fsum0diag 7210  fsum0diag2 7211  fsum0diag4 7213  efcltlem1 7263  ef0lem 7269  efclt 7271  efcvg 7273  efcvgfsum 7274  reefcl 7276  efcj 7295  efaddlem26 7322  eftlexOLD 7336  ef1tllem 7340  eirrlem5 7351  eirr 7352  efm1lim 7368  eflegeolem2 7371  nnenom 7457  zaddsubg 8094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-neg 5341  df-z 6093

Copyright terms: Public domain