MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Unicode version

Theorem 1259lem1 13455
Description: Lemma for 1259prm 13460. Calculate a power mod. In decimal, we calculate  2 ^ 1 6  =  5 2 N  +  6 8  ==  6 8 and  2 ^ 1 7  ==  6 8  x.  2  =  1 3 6 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259lem1  |-  ( ( 2 ^; 1 7 )  mod 
N )  =  (;; 1 3 6  mod 
N )

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
2 1nn0 10242 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
3 2nn0 10243 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
42, 3deccl 10401 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
5 5nn0 10246 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
64, 5deccl 10401 . . . 4  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
7 9nn 10145 . . . 4  |-  9  e.  NN
86, 7decnncl 10400 . . 3  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN
91, 8eqeltri 2508 . 2  |-  N  e.  NN
10 2nn 10138 . 2  |-  2  e.  NN
11 6nn0 10247 . . 3  |-  6  e.  NN0
122, 11deccl 10401 . 2  |- ; 1 6  e.  NN0
13 0z 10298 . 2  |-  0  e.  ZZ
14 8nn0 10249 . . 3  |-  8  e.  NN0
1511, 14deccl 10401 . 2  |- ; 6 8  e.  NN0
16 3nn0 10244 . . . 4  |-  3  e.  NN0
172, 16deccl 10401 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN0
1817, 11deccl 10401 . 2  |- ;; 1 3 6  e.  NN0
195, 3deccl 10401 . . . 4  |- ; 5 2  e.  NN0
2019nn0zi 10311 . . 3  |- ; 5 2  e.  ZZ
213, 14nn0expcli 11412 . . 3  |-  ( 2 ^ 8 )  e. 
NN0
22 eqid 2438 . . 3  |-  ( ( 2 ^ 8 )  mod  N )  =  ( ( 2 ^ 8 )  mod  N
)
2314nn0cni 10238 . . . 4  |-  8  e.  CC
24 2cn 10075 . . . 4  |-  2  e.  CC
25 8t2e16 10475 . . . 4  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
2623, 24, 25mulcomli 9102 . . 3  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
27 9nn0 10250 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
28 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 6 8  = ; 6 8
29 4nn0 10245 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
30 7nn0 10248 . . . . . 6  |-  7  e.  NN0
3129, 30deccl 10401 . . . . 5  |- ; 4 7  e.  NN0
32 eqid 2438 . . . . . 6  |- ;; 1 2 5  = ;; 1 2 5
33 0nn0 10241 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
3411dec0h 10403 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
35 eqid 2438 . . . . . . 7  |- ; 4 7  = ; 4 7
36 4cn 10079 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
3736addid2i 9259 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  4 )  =  4
3837oveq1i 6094 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  4 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
39 4p1e5 10110 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  1 )  =  5
4038, 39eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  4 )  +  1 )  =  5
41 7nn 10143 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
4241nncni 10015 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
43 6nn 10142 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
4443nncni 10015 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
45 7p6e13 10441 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
4642, 44, 45addcomli 9263 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
4733, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 46decaddc 10429 . . . . . 6  |-  ( 6  + ; 4 7 )  = ; 5
3
483, 11deccl 10401 . . . . . 6  |- ; 2 6  e.  NN0
49 eqid 2438 . . . . . . 7  |- ; 1 2  = ; 1 2
505dec0h 10403 . . . . . . . 8  |-  5  = ; 0 5
51 eqid 2438 . . . . . . . 8  |- ; 2 6  = ; 2 6
5224addid2i 9259 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  2 )  =  2
5352oveq1i 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
54 2p1e3 10108 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5553, 54eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  =  3
56 5nn 10141 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
5756nncni 10015 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
58 6p5e11 10437 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  5 )  = ; 1
1
5944, 57, 58addcomli 9263 . . . . . . . 8  |-  ( 5  +  6 )  = ; 1
1
6033, 5, 3, 11, 50, 51, 55, 2, 59decaddc 10429 . . . . . . 7  |-  ( 5  + ; 2 6 )  = ; 3
1
61 10nn0 10251 . . . . . . 7  |-  10  e.  NN0
62 eqid 2438 . . . . . . . 8  |- ; 5 2  = ; 5 2
6316dec0h 10403 . . . . . . . . 9  |-  3  = ; 0 3
64 dec10 10417 . . . . . . . . 9  |-  10  = ; 1 0
65 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6665addid2i 9259 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
67 3cn 10077 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
6867addid1i 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  0 )  =  3
6933, 16, 2, 33, 63, 64, 66, 68decadd 10428 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  10 )  = ; 1
3
7057mulid1i 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  1 )  =  5
7165addid1i 9258 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7270, 71oveq12i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 5  x.  1 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 5  +  1 )
73 5p1e6 10111 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  +  1 )  =  6
7472, 73eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  x.  1 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  6
7524mulid1i 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7675oveq1i 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  3 )  =  ( 2  +  3 )
77 3p2e5 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  2 )  =  5
7867, 24, 77addcomli 9263 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  3 )  =  5
7976, 78, 503eqtri 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
5
805, 3, 2, 16, 62, 69, 2, 5, 33, 74, 79decmac 10426 . . . . . . 7  |-  ( (; 5
2  x.  1 )  +  ( 3  +  10 ) )  = ; 6
5
812dec0h 10403 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
82 5t2e10 10136 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
83 00id 9246 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8482, 83oveq12i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 10  +  0 )
85 10nn 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  10  e.  NN
8685nncni 10015 . . . . . . . . . 10  |-  10  e.  CC
8786addid1i 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( 10  +  0 )  =  10
8884, 87eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  10
89 2t2e4 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9089oveq1i 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
9190, 39, 503eqtri 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  = ; 0
5
925, 3, 33, 2, 62, 81, 3, 5, 33, 88, 91decmac 10426 . . . . . . 7  |-  ( (; 5
2  x.  2 )  +  1 )  = ; 10 5
932, 3, 16, 2, 49, 60, 19, 5, 61, 80, 92decma2c 10427 . . . . . 6  |-  ( (; 5
2  x. ; 1 2 )  +  ( 5  + ; 2 6 ) )  = ;; 6 5 5
9466oveq2i 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 5  x.  5 )  +  1 )
95 5t5e25 10463 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
963, 5, 73, 95decsuc 10410 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  1 )  = ; 2
6
9794, 96eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 2
6
9857, 24, 82mulcomli 9102 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
9998, 64eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
10067addid2i 9259 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  3 )  =  3
1012, 33, 16, 99, 100decaddi 10431 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  3 )  = ; 1
3
1025, 3, 33, 16, 62, 63, 5, 16, 2, 97, 101decmac 10426 . . . . . 6  |-  ( (; 5
2  x.  5 )  +  3 )  = ;; 2 6 3
1034, 5, 5, 16, 32, 47, 19, 16, 48, 93, 102decma2c 10427 . . . . 5  |-  ( (; 5
2  x. ;; 1 2 5 )  +  ( 6  + ; 4 7 ) )  = ;;; 6 5 5 3
10414dec0h 10403 . . . . . 6  |-  8  = ; 0 8
10552oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  x.  9 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 5  x.  9 )  +  2 )
1067nncni 10015 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
107 9t5e45 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( 9  x.  5 )  = ; 4
5
108106, 57, 107mulcomli 9102 . . . . . . . 8  |-  ( 5  x.  9 )  = ; 4
5
109 5p2e7 10121 . . . . . . . 8  |-  ( 5  +  2 )  =  7
11029, 5, 3, 108, 109decaddi 10431 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  x.  9 )  +  2 )  = ; 4
7
111105, 110eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  9 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 4
7
112 9t2e18 10482 . . . . . . . 8  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
113106, 24, 112mulcomli 9102 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  9 )  = ; 1
8
114 1p1e2 10099 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
115 8p8e16 10448 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
1162, 14, 14, 113, 114, 11, 115decaddci 10432 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  9 )  +  8 )  = ; 2
6
1175, 3, 33, 14, 62, 104, 27, 11, 3, 111, 116decmac 10426 . . . . 5  |-  ( (; 5
2  x.  9 )  +  8 )  = ;; 4 7 6
1186, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 103, 117decma2c 10427 . . . 4  |-  ( (; 5
2  x.  N )  + ; 6 8 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
119 2exp16 13429 . . . 4  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
120 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 8 )  =  ( 2 ^ 8 )
121 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( ( 2 ^ 8 )  x.  ( 2 ^ 8 ) )  =  ( ( 2 ^ 8 )  x.  (
2 ^ 8 ) )
1223, 14, 26, 120, 121numexp2x 13420 . . . 4  |-  ( 2 ^; 1 6 )  =  ( ( 2 ^ 8 )  x.  (
2 ^ 8 ) )
123118, 119, 1223eqtr2i 2464 . . 3  |-  ( (; 5
2  x.  N )  + ; 6 8 )  =  ( ( 2 ^ 8 )  x.  (
2 ^ 8 ) )
1249, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 123mod2xi 13410 . 2  |-  ( ( 2 ^; 1 6 )  mod 
N )  =  (; 6
8  mod  N )
125 6p1e7 10112 . . 3  |-  ( 6  +  1 )  =  7
126 eqid 2438 . . 3  |- ; 1 6  = ; 1 6
1272, 11, 125, 126decsuc 10410 . 2  |-  (; 1 6  +  1 )  = ; 1 7
12818nn0cni 10238 . . . 4  |- ;; 1 3 6  e.  CC
129128addid2i 9259 . . 3  |-  ( 0  + ;; 1 3 6 )  = ;; 1 3 6
1309nncni 10015 . . . . 5  |-  N  e.  CC
131130mul02i 9260 . . . 4  |-  ( 0  x.  N )  =  0
132131oveq1i 6094 . . 3  |-  ( ( 0  x.  N )  + ;; 1 3 6 )  =  ( 0  + ;; 1 3 6 )
133 6t2e12 10464 . . . . 5  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
1342, 3, 54, 133decsuc 10410 . . . 4  |-  ( ( 6  x.  2 )  +  1 )  = ; 1
3
1353, 11, 14, 28, 11, 2, 134, 25decmul1c 10434 . . 3  |-  (; 6 8  x.  2 )  = ;; 1 3 6
136129, 132, 1353eqtr4i 2468 . 2  |-  ( ( 0  x.  N )  + ;; 1 3 6 )  =  (; 6
8  x.  2 )
1379, 10, 12, 13, 15, 18, 124, 127, 136modxp1i 13411 1  |-  ( ( 2 ^; 1 7 )  mod 
N )  =  (;; 1 3 6  mod 
N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   5c5 10057   6c6 10058   7c7 10059   8c8 10060   9c9 10061   10c10 10062  ;cdc 10387    mod cmo 11255   ^cexp 11387
This theorem is referenced by:  1259lem2  13456  1259lem4  13458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388
  Copyright terms: Public domain W3C validator