MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Unicode version

Theorem 1259lem5 13446
Description: Lemma for 1259prm 13447. Calculate the GCD of  2 ^ 3 4  -  1  ==  8 6 9 with  N  =  1 2 5 9. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259lem5  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 10125 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 3nn0 10231 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
3 4nn0 10232 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
42, 3deccl 10388 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
5 nnexpcl 11386 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN  /\ ; 3 4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^; 3 4 )  e.  NN )
61, 4, 5mp2an 654 . . 3  |-  ( 2 ^; 3 4 )  e.  NN
7 nnm1nn0 10253 . . 3  |-  ( ( 2 ^; 3 4 )  e.  NN  ->  ( (
2 ^; 3 4 )  - 
1 )  e.  NN0 )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  e.  NN0
9 8nn0 10236 . . . 4  |-  8  e.  NN0
10 6nn0 10234 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 10388 . . 3  |- ; 8 6  e.  NN0
12 9nn0 10237 . . 3  |-  9  e.  NN0
1311, 12deccl 10388 . 2  |- ;; 8 6 9  e.  NN0
14 1259prm.1 . . 3  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
15 1nn0 10229 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
16 2nn0 10230 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
1715, 16deccl 10388 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
18 5nn0 10233 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
1917, 18deccl 10388 . . . 4  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
20 9nn 10132 . . . 4  |-  9  e.  NN
2119, 20decnncl 10387 . . 3  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN
2214, 21eqeltri 2505 . 2  |-  N  e.  NN
23141259lem2 13443 . . 3  |-  ( ( 2 ^; 3 4 )  mod 
N )  =  (;; 8 7 0  mod 
N )
24 6p1e7 10099 . . . . 5  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2435 . . . . 5  |- ; 8 6  = ; 8 6
269, 10, 24, 25decsuc 10397 . . . 4  |-  (; 8 6  +  1 )  = ; 8 7
27 eqid 2435 . . . 4  |- ;; 8 6 9  = ;; 8 6 9
2811, 26, 27decsucc 10401 . . 3  |-  (;; 8 6 9  +  1 )  = ;; 8 7 0
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 13400 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  mod  N
)  =  (;; 8 6 9  mod  N
)
302, 12deccl 10388 . . . 4  |- ; 3 9  e.  NN0
31 0nn0 10228 . . . 4  |-  0  e.  NN0
3230, 31deccl 10388 . . 3  |- ;; 3 9 0  e.  NN0
339, 12deccl 10388 . . . 4  |- ; 8 9  e.  NN0
3416, 15deccl 10388 . . . . . 6  |- ; 2 1  e.  NN0
3515, 2deccl 10388 . . . . . . 7  |- ; 1 3  e.  NN0
3634nn0zi 10298 . . . . . . . . 9  |- ; 2 1  e.  ZZ
3735nn0zi 10298 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  ZZ
38 gcdcom 13012 . . . . . . . . 9  |-  ( (; 2
1  e.  ZZ  /\ ; 1 3  e.  ZZ )  -> 
(; 2 1  gcd ; 1 3 )  =  (; 1 3  gcd ; 2 1 ) )
3936, 37, 38mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  (; 2 1  gcd ; 1 3 )  =  (; 1 3  gcd ; 2 1 )
40 3nn 10126 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4115, 40decnncl 10387 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  e.  NN
42 8nn 10131 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  NN
43 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 3  = ; 1 3
449dec0h 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  8  = ; 0 8
45 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
4645mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4745addid2i 9246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4846, 47oveq12i 6085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
49 1p1e2 10086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5048, 49eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
51 3cn 10064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  CC
5251mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
5352oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  8 )  =  ( 3  +  8 )
5442nncni 10002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  CC
55 8p3e11 10430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  3 )  = ; 1
1
5654, 51, 55addcomli 9250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  +  8 )  = ; 1
1
5753, 56eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
1
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 10413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  8 )  = ; 2
1
59 1nn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
60 8lt10 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  8  <  10
6159, 2, 9, 60declti 10399 . . . . . . . . . 10  |-  8  < ; 1
3
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 12922 . . . . . . . . 9  |-  -. ; 1 3  || ; 2 1
63 13prm 13430 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  e.  Prime
64 coprm 13092 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 1
3  e.  Prime  /\ ; 2 1  e.  ZZ )  ->  ( -. ; 1 3  || ; 2 1  <->  (; 1 3  gcd ; 2 1 )  =  1 ) )
6563, 36, 64mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( -. ; 1
3  || ; 2 1  <->  (; 1 3  gcd ; 2 1 )  =  1 )
6662, 65mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  gcd ; 2 1 )  =  1
6739, 66eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  (; 2 1  gcd ; 1 3 )  =  1
68 eqid 2435 . . . . . . . 8  |- ; 2 1  = ; 2 1
69 2cn 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
7069mulid2i 9085 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7145addid1i 9245 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7270, 71oveq12i 6085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 2  +  1 )
73 2p1e3 10095 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7472, 73eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  3
7546oveq1i 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  3 )  =  ( 1  +  3 )
76 3p1e4 10096 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  4
7751, 45, 76addcomli 9250 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  3 )  =  4
783dec0h 10390 . . . . . . . . 9  |-  4  = ; 0 4
7975, 77, 783eqtri 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
4
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 10414 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x. ; 2 1 )  + ; 1
3 )  = ; 3 4
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 13401 . . . . . 6  |-  (; 3 4  gcd ; 2 1 )  =  1
82 eqid 2435 . . . . . . 7  |- ; 3 4  = ; 3 4
83 3t2e6 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8451, 69, 83mulcomli 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
8569addid1i 9245 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  0 )  =  2
8684, 85oveq12i 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 2  +  0 ) )  =  ( 6  +  2 )
87 6p2e8 10112 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  2 )  =  8
8886, 87eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 2  +  0 ) )  =  8
89 4cn 10066 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
90 4t2e8 10122 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
9189, 69, 90mulcomli 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
9291oveq1i 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  4 )  +  1 )  =  ( 8  +  1 )
93 8p1e9 10101 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  1 )  =  9
9412dec0h 10390 . . . . . . . 8  |-  9  = ; 0 9
9592, 93, 943eqtri 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  4 )  +  1 )  = ; 0
9
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 10414 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x. ; 3 4 )  + ; 2
1 )  = ; 8 9
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 13401 . . . . 5  |-  (; 8 9  gcd ; 3 4 )  =  1
98 eqid 2435 . . . . . 6  |- ; 8 9  = ; 8 9
99 4p3e7 10106 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  +  3 )  =  7
10089, 51, 99addcomli 9250 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  4 )  =  7
101100oveq2i 6084 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  8 )  +  ( 3  +  4 ) )  =  ( ( 4  x.  8 )  +  7 )
102 7nn0 10235 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
103 8t4e32 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  4 )  = ; 3
2
10454, 89, 103mulcomli 9089 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  8 )  = ; 3
2
105 7nn 10130 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
106105nncni 10002 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
107 7p2e9 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  +  2 )  =  9
108106, 69, 107addcomli 9250 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  7 )  =  9
1092, 16, 102, 104, 108decaddi 10418 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  8 )  +  7 )  = ; 3
9
110101, 109eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  8 )  +  ( 3  +  4 ) )  = ; 3
9
11120nncni 10002 . . . . . . . 8  |-  9  e.  CC
112 9t4e36 10471 . . . . . . . 8  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
113111, 89, 112mulcomli 9089 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  9 )  = ; 3
6
114 6p4e10 10114 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  4 )  =  10
1152, 10, 3, 113, 76, 114decaddci2 10420 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  9 )  +  4 )  = ; 4
0
1169, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 110, 115decma2c 10414 . . . . 5  |-  ( ( 4  x. ; 8 9 )  + ; 3
4 )  = ;; 3 9 0
1173, 4, 33, 97, 116gcdi 13401 . . . 4  |-  (;; 3 9 0  gcd ; 8 9 )  =  1
118 eqid 2435 . . . . 5  |- ;; 3 9 0  = ;; 3 9 0
119 eqid 2435 . . . . . 6  |- ; 3 9  = ; 3 9
12054addid1i 9245 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  0 )  =  8
121120, 44eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( 8  +  0 )  = ; 0
8
12269addid2i 9246 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
12384, 122oveq12i 6085 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
124123, 87eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
125 9t2e18 10469 . . . . . . . 8  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
126111, 69, 125mulcomli 9089 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  9 )  = ; 1
8
127 8p8e16 10435 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
12815, 9, 9, 126, 49, 10, 127decaddci 10419 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  9 )  +  8 )  = ; 2
6
1292, 12, 31, 9, 119, 121, 16, 10, 16, 124, 128decma2c 10414 . . . . 5  |-  ( ( 2  x. ; 3 9 )  +  ( 8  +  0 ) )  = ; 8 6
13069mul01i 9248 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
131130oveq1i 6083 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  9 )  =  ( 0  +  9 )
132111addid2i 9246 . . . . . 6  |-  ( 0  +  9 )  =  9
133131, 132, 943eqtri 2459 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  9 )  = ; 0
9
13430, 31, 9, 12, 118, 98, 16, 12, 31, 129, 133decma2c 10414 . . . 4  |-  ( ( 2  x. ;; 3 9 0 )  + ; 8
9 )  = ;; 8 6 9
13516, 33, 32, 117, 134gcdi 13401 . . 3  |-  (;; 8 6 9  gcd ;; 3 9 0 )  =  1
13630nn0cni 10225 . . . . . . 7  |- ; 3 9  e.  CC
137136addid1i 9245 . . . . . 6  |-  (; 3 9  +  0 )  = ; 3 9
13854mulid2i 9085 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
139138, 76oveq12i 6085 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 3  +  1 ) )  =  ( 8  +  4 )
140 8p4e12 10431 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  4 )  = ; 1
2
141139, 140eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 3  +  1 ) )  = ; 1
2
142 6nn 10129 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
143142nncni 10002 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
144143mulid2i 9085 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
145144oveq1i 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  9 )  =  ( 6  +  9 )
146 9p6e15 10440 . . . . . . . 8  |-  ( 9  +  6 )  = ; 1
5
147111, 143, 146addcomli 9250 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  9 )  = ; 1
5
148145, 147eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  9 )  = ; 1
5
1499, 10, 2, 12, 25, 137, 15, 18, 15, 141, 148decma2c 10414 . . . . 5  |-  ( ( 1  x. ; 8 6 )  +  (; 3 9  +  0 ) )  = ;; 1 2 5
150111mulid2i 9085 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
151150oveq1i 6083 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  0 )  =  ( 9  +  0 )
152111addid1i 9245 . . . . . 6  |-  ( 9  +  0 )  =  9
153151, 152, 943eqtri 2459 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  0 )  = ; 0
9
15411, 12, 30, 31, 27, 118, 15, 12, 31, 149, 153decma2c 10414 . . . 4  |-  ( ( 1  x. ;; 8 6 9 )  + ;; 3 9 0 )  = ;;; 1 2 5 9
155154, 14eqtr4i 2458 . . 3  |-  ( ( 1  x. ;; 8 6 9 )  + ;; 3 9 0 )  =  N
15615, 32, 13, 135, 155gcdi 13401 . 2  |-  ( N  gcd ;; 8 6 9 )  =  1
1578, 13, 22, 29, 156gcdmodi 13402 1  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   5c5 10044   6c6 10045   7c7 10046   8c8 10047   9c9 10048   NN0cn0 10213   ZZcz 10274  ;cdc 10374   ^cexp 11374    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  1259prm  13447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator