MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Structured version   Unicode version

Theorem 163prm 13449
Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm  |- ;; 1 6 3  e.  Prime

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10239 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 6nn0 10244 . . . 4  |-  6  e.  NN0
31, 2deccl 10398 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN0
4 3nn 10136 . . 3  |-  3  e.  NN
53, 4decnncl 10397 . 2  |- ;; 1 6 3  e.  NN
6 8nn0 10246 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 10242 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 10398 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 3nn0 10241 . . 3  |-  3  e.  NN0
10 3lt10 10186 . . 3  |-  3  <  10
11 6lt10 10183 . . . 4  |-  6  <  10
12 1lt8 10171 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 10406 . . 3  |- ; 1 6  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 10406 . 2  |- ;; 1 6 3  < ;; 8 4 1
15 6nn 10139 . . . 4  |-  6  e.  NN
161, 15decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN
17 1lt10 10188 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 10409 . 2  |-  1  < ;; 1 6 3
19 2cn 10072 . . . 4  |-  2  e.  CC
2019mulid2i 9095 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
21 df-3 10061 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
223, 1, 20, 21dec2dvds 13401 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 6 3
23 5nn0 10243 . . . 4  |-  5  e.  NN0
2423, 7deccl 10398 . . 3  |- ; 5 4  e.  NN0
25 1nn 10013 . . 3  |-  1  e.  NN
26 0nn0 10238 . . . 4  |-  0  e.  NN0
27 eqid 2438 . . . 4  |- ; 5 4  = ; 5 4
281dec0h 10400 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
29 ax-1cn 9050 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3029addid2i 9256 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )
32 5p1e6 10108 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
33 5nn 10138 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
3433nncni 10012 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
35 3cn 10074 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
36 5t3e15 10458 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
3734, 35, 36mulcomli 9099 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
381, 23, 32, 37decsuc 10407 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
3931, 38eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
6
40 2nn0 10240 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
41 2p1e3 10105 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
42 4cn 10076 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
43 4t3e12 10456 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
4442, 35, 43mulcomli 9099 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
451, 40, 41, 44decsuc 10407 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
4623, 7, 26, 1, 27, 28, 9, 9, 1, 39, 45decma2c 10424 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 5 4 )  +  1 )  = ;; 1 6 3
47 1lt3 10146 . . 3  |-  1  <  3
484, 24, 25, 46, 47ndvdsi 12932 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 6 3
49 3lt5 10151 . . 3  |-  3  <  5
503, 4, 49dec5dvds 13402 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 6 3
51 7nn 10140 . . 3  |-  7  e.  NN
5240, 9deccl 10398 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN0
53 2nn 10135 . . 3  |-  2  e.  NN
54 eqid 2438 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
5540dec0h 10400 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
56 7nn0 10245 . . . 4  |-  7  e.  NN0
5719addid2i 9256 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
5857oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )
59 7t2e14 10466 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
60 4p2e6 10115 . . . . . 6  |-  ( 4  +  2 )  =  6
611, 7, 40, 59, 60decaddi 10428 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )  = ; 1
6
6258, 61eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
63 7t3e21 10467 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
6419, 29, 41addcomli 9260 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
6540, 1, 40, 63, 64decaddi 10428 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  3 )  +  2 )  = ; 2
3
6640, 9, 26, 40, 54, 55, 56, 9, 40, 62, 65decma2c 10424 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 2 3 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
67 2lt7 10163 . . 3  |-  2  <  7
6851, 52, 53, 66, 67ndvdsi 12932 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 6 3
691, 25decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
701, 7deccl 10398 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
71 9nn 10142 . . 3  |-  9  e.  NN
72 9nn0 10247 . . . 4  |-  9  e.  NN0
73 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
7472dec0h 10400 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
751, 1deccl 10398 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
7634addid2i 9256 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
7776oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  5 )
7869nncni 10012 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
7978mulid1i 9094 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
8034, 29, 32addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 1  +  5 )  =  6
811, 1, 23, 79, 80decaddi 10428 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  5 )  = ; 1
6
8277, 81eqtri 2458 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
6
83 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8442mulid2i 9095 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
8584, 30oveq12i 6095 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 4  +  1 )
86 4p1e5 10107 . . . . . 6  |-  ( 4  +  1 )  =  5
8785, 86eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  5
8884oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  =  ( 4  +  9 )
8971nncni 10012 . . . . . . 7  |-  9  e.  CC
90 9p4e13 10448 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
9189, 42, 90addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
9288, 91eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  = ; 1
3
931, 1, 26, 72, 83, 74, 7, 9, 1, 87, 92decmac 10423 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  4 )  +  9 )  = ; 5
3
941, 7, 26, 72, 73, 74, 75, 9, 23, 82, 93decma2c 10424 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 4 )  +  9 )  = ;; 1 6 3
95 9lt10 10180 . . . 4  |-  9  <  10
9625, 1, 72, 95declti 10409 . . 3  |-  9  < ; 1
1
9769, 70, 71, 94, 96ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 6 3
981, 4decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
991, 40deccl 10398 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
100 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
10156dec0h 10400 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
1021, 9deccl 10398 . . . 4  |- ; 1 3  e.  NN0
103 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10435addid2i 9256 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  =  3
1059dec0h 10400 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
106104, 105eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
10729mulid1i 9094 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
108 00id 9243 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
109107, 108oveq12i 6095 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
11029addid1i 9255 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
111109, 110eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11235mulid1i 9094 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
113112oveq1i 6093 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  ( 3  +  3 )
114 3p3e6 10114 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
115113, 114eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  6
1162dec0h 10400 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
117115, 116eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
6
1181, 9, 26, 9, 103, 106, 1, 2, 26, 111, 117decmac 10423 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
6
11920, 30oveq12i 6095 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
120119, 41eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
121 3t2e6 10130 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
122121oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  =  ( 6  +  7 )
12351nncni 10012 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
12415nncni 10012 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
125 7p6e13 10438 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
126123, 124, 125addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
127122, 126eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  = ; 1
3
1281, 9, 26, 56, 103, 101, 40, 9, 1, 120, 127decmac 10423 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  +  7 )  = ; 3
3
1291, 40, 26, 56, 100, 101, 102, 9, 9, 118, 128decma2c 10424 . . 3  |-  ( (; 1
3  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 6 3
130 7lt10 10182 . . . 4  |-  7  <  10
13125, 9, 56, 130declti 10409 . . 3  |-  7  < ; 1
3
13298, 99, 51, 129, 131ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 6 3
1331, 51decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
134 10nn 10143 . . 3  |-  10  e.  NN
135 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
136 dec10 10414 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
13789mulid2i 9095 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
138 6p1e7 10109 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
139124, 29, 138addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 1  +  6 )  =  7
140137, 139oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  =  ( 9  +  7 )
141 9p7e16 10451 . . . . 5  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
142140, 141eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 1
6
143 9t7e63 10484 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
14489, 123, 143mulcomli 9099 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
145144oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  =  (; 6 3  +  0 )
1462, 9deccl 10398 . . . . . . 7  |- ; 6 3  e.  NN0
147146nn0cni 10235 . . . . . 6  |- ; 6 3  e.  CC
148147addid1i 9255 . . . . 5  |-  (; 6 3  +  0 )  = ; 6 3
149145, 148eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  = ; 6
3
1501, 56, 1, 26, 135, 136, 72, 9, 2, 142, 149decmac 10423 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  9 )  +  10 )  = ;; 1 6 3
151 7pos 10091 . . . . 5  |-  0  <  7
1521, 26, 51, 151declt 10405 . . . 4  |- ; 1 0  < ; 1 7
153136, 152eqbrtri 4233 . . 3  |-  10  < ; 1 7
154133, 72, 134, 150, 153ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 6 3
1551, 71decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
156 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
157 8nn 10141 . . . . . . . 8  |-  8  e.  NN
158157nncni 10012 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
159158mulid2i 9095 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
160 7p1e8 10110 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  1 )  =  8
161123, 29, 160addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  8
162159, 161oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  =  ( 8  +  8 )
163 8p8e16 10445 . . . . 5  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
164162, 163eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 1
6
165 9t8e72 10485 . . . . 5  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
16656, 40, 41, 165decsuc 10407 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  8 )  +  1 )  = ; 7
3
1671, 72, 1, 1, 156, 83, 6, 9, 56, 164, 166decmac 10423 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  8 )  + ; 1 1 )  = ;; 1 6 3
168 1lt9 10179 . . . 4  |-  1  <  9
1691, 1, 71, 168declt 10405 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 9
170155, 6, 69, 167, 169ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 6 3
17140, 4decnncl 10397 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
17257oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )
173123, 19, 59mulcomli 9099 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  7 )  = ; 1
4
1741, 7, 40, 173, 60decaddi 10428 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )  = ; 1
6
175172, 174eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
176123, 35, 63mulcomli 9099 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
17740, 1, 40, 176, 64decaddi 10428 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
17840, 9, 26, 40, 54, 55, 56, 9, 40, 175, 177decmac 10423 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  7 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
179 2lt10 10187 . . . 4  |-  2  <  10
18053, 9, 40, 179declti 10409 . . 3  |-  2  < ; 2
3
181171, 56, 53, 178, 180ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 6 3
1825, 14, 18, 22, 48, 50, 68, 97, 132, 154, 170, 181prmlem2 13444 1  |- ;; 1 6 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   5c5 10054   6c6 10055   7c7 10056   8c8 10057   9c9 10058   10c10 10059  ;cdc 10384   Primecprime 13081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-prm 13082
  Copyright terms: Public domain W3C validator