MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  17prm Structured version   Unicode version

Theorem 17prm 13431
Description: 17 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
17prm  |- ; 1 7  e.  Prime

Proof of Theorem 17prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10229 . . 3  |-  1  e.  NN0
2 7nn 10130 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 10387 . 2  |- ; 1 7  e.  NN
4 1nn 10003 . . 3  |-  1  e.  NN
5 7nn0 10235 . . 3  |-  7  e.  NN0
6 1lt10 10178 . . 3  |-  1  <  10
74, 5, 1, 6declti 10399 . 2  |-  1  < ; 1
7
8 3nn0 10231 . . 3  |-  3  e.  NN0
9 3t2e6 10120 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
10 df-7 10055 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
111, 8, 9, 10dec2dvds 13391 . 2  |-  -.  2  || ; 1 7
12 3nn 10126 . . 3  |-  3  e.  NN
13 5nn0 10233 . . 3  |-  5  e.  NN0
14 2nn 10125 . . 3  |-  2  e.  NN
15 2nn0 10230 . . . 4  |-  2  e.  NN0
1613nn0cni 10225 . . . . 5  |-  5  e.  CC
17 3cn 10064 . . . . 5  |-  3  e.  CC
18 5t3e15 10448 . . . . 5  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
1916, 17, 18mulcomli 9089 . . . 4  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
20 5p2e7 10108 . . . 4  |-  ( 5  +  2 )  =  7
211, 13, 15, 19, 20decaddi 10418 . . 3  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
7
22 2lt3 10135 . . 3  |-  2  <  3
2312, 13, 14, 21, 22ndvdsi 12922 . 2  |-  -.  3  || ; 1 7
24 7lt10 10172 . . 3  |-  7  <  10
25 1lt2 10134 . . 3  |-  1  <  2
261, 15, 5, 13, 24, 25decltc 10396 . 2  |- ; 1 7  < ; 2 5
273, 7, 11, 23, 26prmlem1 13422 1  |- ; 1 7  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   1c1 8983    x. cmul 8987   2c2 10041   3c3 10042   5c5 10044   6c6 10045   7c7 10046  ;cdc 10374   Primecprime 13071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-prm 13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator