Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1alg Unicode version

Theorem 1alg 25825
Description: CatOLDegory  1 has the structure required by  Ded and  Cat OLD. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
1alg.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
1alg  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg

Proof of Theorem 1alg
StepHypRef Expression
1 opex 4253 . . . . 5  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
2 1alg.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
31, 2f1osn 5529 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }
4 f1of 5488 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
)
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
62, 1f1osn 5529 . . . 4  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } -1-1-onto-> { <. A ,  A >. }
7 f1of 5488 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } -1-1-onto-> { <. A ,  A >. }  ->  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. }
95, 5, 83pm3.2i 1130 . 2  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )
10 opex 4253 . . . 4  |-  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  _V
1110, 1funsn 5316 . . 3  |-  Fun  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }
121dmsnop 5163 . . . 4  |-  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  =  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. }
131, 1f1osn 5529 . . . . . 6  |-  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { <. A ,  A >. }
14 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> {
<. A ,  A >. }  ->  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } --> { <. A ,  A >. } )
1513, 14ax-mp 8 . . . . 5  |-  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } --> { <. A ,  A >. }
16 fssxp 5416 . . . . 5  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } --> { <. A ,  A >. }  ->  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )
1812, 17eqsstri 3221 . . 3  |-  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )
1910rnsnop 5169 . . . 4  |-  ran  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  =  { <. A ,  A >. }
2019eqimssi 3245 . . 3  |-  ran  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. }
2111, 18, 203pm3.2i 1130 . 2  |-  ( Fun 
{ <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  /\  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )  /\  ran  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. } )
22 snex 4232 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V
23 snex 4232 . . . 4  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
2422, 22, 233pm3.2i 1130 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )
25 snex 4232 . . 3  |-  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
262dmsnop 5163 . . . . 5  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. }
2726eqcomi 2300 . . . 4  |-  { <. A ,  A >. }  =  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
281dmsnop 5163 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  =  { A }
2928eqcomi 2300 . . . 4  |-  { A }  =  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }
3027, 29isalg 25824 . . 3  |-  ( ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  /\  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  ->  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  <->  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )  /\  ( Fun  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  /\  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )  /\  ran  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. } ) ) ) )
3124, 25, 30mp2an 653 . 2  |-  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  <->  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )  /\  ( Fun  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  /\  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )  /\  ran  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. } ) ) )
329, 21, 31mpbir2an 886 1  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270    Alg calg 25814
This theorem is referenced by:  1ded  25841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-alg 25819
  Copyright terms: Public domain W3C validator