Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith Unicode version

Theorem 1arith 12990
 Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations . (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1
1arith.2
Assertion
Ref Expression
1arith
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10049 . . . . . . 7
2 prmz 12778 . . . . . . . 8
32ssriv 3197 . . . . . . 7
41, 3ssexi 4175 . . . . . 6
54mptex 5762 . . . . 5
6 1arith.1 . . . . 5
75, 6fnmpti 5388 . . . 4
861arithlem3 12988 . . . . . . 7
9 nn0ex 9987 . . . . . . . 8
109, 4elmap 6812 . . . . . . 7
118, 10sylibr 203 . . . . . 6
12 fzfi 11050 . . . . . . 7
13 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
14 elpreima 5661 . . . . . . . . . 10
158, 13, 143syl 18 . . . . . . . . 9
1661arithlem2 12987 . . . . . . . . . . . 12
1716eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11
18 id 19 . . . . . . . . . . . . 13
19 dvdsle 12590 . . . . . . . . . . . . 13
202, 18, 19syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12
21 pcelnn 12938 . . . . . . . . . . . . 13
2221ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12
23 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . 14
24 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . 13
26 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . 13
27 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 26, 27syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12
2920, 22, 283imtr4d 259 . . . . . . . . . . 11
3017, 29sylbid 206 . . . . . . . . . 10
3130expimpd 586 . . . . . . . . 9
3215, 31sylbid 206 . . . . . . . 8
3332ssrdv 3198 . . . . . . 7
34 ssfi 7099 . . . . . . 7
3512, 33, 34sylancr 644 . . . . . 6
36 cnveq 4871 . . . . . . . . 9
3736imaeq1d 5027 . . . . . . . 8
3837eleq1d 2362 . . . . . . 7
39 1arith.2 . . . . . . 7
4038, 39elrab2 2938 . . . . . 6
4111, 35, 40sylanbrc 645 . . . . 5
4241rgen 2621 . . . 4
43 ffnfv 5701 . . . 4
447, 42, 43mpbir2an 886 . . 3
4516adantlr 695 . . . . . . . 8
4661arithlem2 12987 . . . . . . . . 9
4746adantll 694 . . . . . . . 8
4845, 47eqeq12d 2310 . . . . . . 7
4948ralbidva 2572 . . . . . 6
5061arithlem3 12988 . . . . . . 7
51 ffn 5405 . . . . . . . 8
52 eqfnfv 5638 . . . . . . . 8
5313, 51, 52syl2an 463 . . . . . . 7
548, 50, 53syl2an 463 . . . . . 6
55 nnnn0 9988 . . . . . . 7
56 nnnn0 9988 . . . . . . 7
57 pc11 12948 . . . . . . 7
5855, 56, 57syl2an 463 . . . . . 6
5949, 54, 583bitr4d 276 . . . . 5
6059biimpd 198 . . . 4
6160rgen2a 2622 . . 3
62 dff13 5799 . . 3
6344, 61, 62mpbir2an 886 . 2
64 cnvimass 5049 . . . . . . 7
65 cnveq 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
6665imaeq1d 5027 . . . . . . . . . . . . 13
6766eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12
6867, 39elrab2 2938 . . . . . . . . . . 11
6968simplbi 446 . . . . . . . . . 10
709, 4elmap 6812 . . . . . . . . . 10
7169, 70sylib 188 . . . . . . . . 9
72 fdm 5409 . . . . . . . . 9
7371, 72syl 15 . . . . . . . 8
74 zssre 10047 . . . . . . . . . 10
753, 74sstri 3201 . . . . . . . . 9
7675a1i 10 . . . . . . . 8
7773, 76eqsstrd 3225 . . . . . . 7
7864, 77syl5ss 3203 . . . . . 6
7968simprbi 450 . . . . . 6
80 fimaxre2 9718 . . . . . 6
8178, 79, 80syl2anc 642 . . . . 5
82 eqid 2296 . . . . . . . 8
8371ad2antrr 706 . . . . . . . 8
84 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
85 0re 8854 . . . . . . . . . . 11
86 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11
8784, 85, 86sylancl 643 . . . . . . . . . 10
88 max1 10530 . . . . . . . . . . 11
8985, 84, 88sylancr 644 . . . . . . . . . 10
90 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . 10
9187, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . 9
92 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . 9
9391, 92syl 15 . . . . . . . 8
9484adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9593adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
9695nnred 9777 . . . . . . . . . . . 12
97 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
9875, 97sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12
9987adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
100 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . 14
10185, 94, 100sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13
102 flltp1 10948 . . . . . . . . . . . . . 14
10399, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
10494, 99, 96, 101, 103lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . 12
105 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
10694, 96, 98, 104, 105ltletrd 8992 . . . . . . . . . . 11
10794, 98ltnled 8982 . . . . . . . . . . 11
108106, 107mpbid 201 . . . . . . . . . 10
10997biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12
11083adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
111 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
112 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . 13
113110, 111, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . 12
114109, 113bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11
115 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12
116 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13
117116rspccv 2894 . . . . . . . . . . . 12
118115, 117syl 15 . . . . . . . . . . 11
119114, 118sylbid 206 . . . . . . . . . 10
120108, 119mtod 168 . . . . . . . . 9
121 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
122110, 97, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
123 elnn0 9983 . . . . . . . . . . 11
124122, 123sylib 188 . . . . . . . . . 10
125124ord 366 . . . . . . . . 9
126120, 125mpd 14 . . . . . . . 8
1276, 82, 83, 93, 1261arithlem4 12989 . . . . . . 7
128127ex 423 . . . . . 6
129128rexlimdva 2680 . . . . 5
13081, 129mpd 14 . . . 4
131130rgen 2621 . . 3
132 dffo3 5691 . . 3
13344, 131, 132mpbir2an 886 . 2
134 df-f1o 5278 . 2
13563, 133, 134mpbir2an 886 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   wss 3165  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  wf1 5268  wfo 5269  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmap 6788  cfn 6879  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  cfl 10940  cexp 11120   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905 This theorem is referenced by:  1arith2  12991  sqff1o  20436 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906
 Copyright terms: Public domain W3C validator