MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith2 Unicode version

Theorem 1arith2 12975
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith2  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Distinct variable groups:    e, g, n, p, z    e, M, g    R, g, n
Allowed substitution hints:    R( z, e, p)    M( z, n, p)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
2 1arith.2 . . . . . 6  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
31, 21arith 12974 . . . . 5  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
4 f1ocnv 5485 . . . . 5  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  ->  `' M : R -1-1-onto-> NN )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  `' M : R -1-1-onto-> NN
6 f1ofveu 6339 . . . 4  |-  ( ( `' M : R -1-1-onto-> NN  /\  z  e.  NN )  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
75, 6mpan 651 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
8 f1ocnvfvb 5795 . . . . 5  |-  ( ( M : NN -1-1-onto-> R  /\  z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  (
( M `  z
)  =  g  <->  ( `' M `  g )  =  z ) )
93, 8mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  ( ( M `  z )  =  g  <-> 
( `' M `  g )  =  z ) )
109reubidva 2723 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  ( E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g  <->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z ) )
117, 10mpbird 223 . 2  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g )
1211rgen 2608 1  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E!wreu 2545   {crab 2547    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890
  Copyright terms: Public domain W3C validator