MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem1 Unicode version

Theorem 1arithlem1 12933
Description: Lemma for 1arith 12937. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
1arithlem1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M `  N )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
Distinct variable group:    n, p, N
Allowed substitution hints:    M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem1
StepHypRef Expression
1 oveq2 5800 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
p  pCnt  n )  =  ( p  pCnt  N ) )
21mpteq2dv 4081 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
3 1arith.1 . 2  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
4 zex 10001 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
5 prmz 12724 . . . . 5  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
65ssriv 3159 . . . 4  |-  Prime  C_  ZZ
74, 6ssexi 4133 . . 3  |-  Prime  e.  _V
87mptex 5680 . 2  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  N ) )  e. 
_V
92, 3, 8fvmpt 5536 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M `  N )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   NNcn 9714   ZZcz 9992   Primecprime 12721    pCnt cpc 12852
This theorem is referenced by:  1arithlem2  12934  1arithlem3  12935  sqff1o  20383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-n0 9934  df-z 9993  df-prime 12722
  Copyright terms: Public domain W3C validator