MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem1 Unicode version

Theorem 1arithlem1 12897
Description: Lemma for 1arith 12901. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
1arithlem1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M `  N )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
Distinct variable group:    n, p, N
Allowed substitution hints:    M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem1
StepHypRef Expression
1 oveq2 5765 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
p  pCnt  n )  =  ( p  pCnt  N ) )
21mpteq2dv 4047 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
3 1arith.1 . 2  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
4 zex 9965 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
5 prmz 12688 . . . . 5  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
65ssriv 3126 . . . 4  |-  Prime  C_  ZZ
74, 6ssexi 4099 . . 3  |-  Prime  e.  _V
87mptex 5645 . 2  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  N ) )  e. 
_V
92, 3, 8fvmpt 5501 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M `  N )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   NNcn 9679   ZZcz 9956   Primecprime 12685    pCnt cpc 12816
This theorem is referenced by:  1arithlem2  12898  1arithlem3  12899  sqff1o  20347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-n0 9898  df-z 9957  df-prime 12686
  Copyright terms: Public domain W3C validator