MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubrlem Structured version   Unicode version

Theorem 1cubrlem 20671
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
1cubrlem  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) )  =  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )  /\  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( -u
1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )

Proof of Theorem 1cubrlem
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10057 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
2 ax-1cn 9038 . . . . 5  |-  1  e.  CC
3 ax-1ne0 9049 . . . . 5  |-  1  =/=  0
42, 3negne0i 9365 . . . 4  |-  -u 1  =/=  0
5 2re 10059 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
6 3nn 10124 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
7 nndivre 10025 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 2  /  3
)  e.  RR )
85, 6, 7mp2an 654 . . . . 5  |-  ( 2  /  3 )  e.  RR
98recni 9092 . . . 4  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
10 cxpef 20546 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( 2  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  3
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
111, 4, 9, 10mp3an 1279 . . 3  |-  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  =  ( exp `  ( ( 2  / 
3 )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )
12 logm1 20473 . . . . . 6  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
1312oveq2i 6084 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  3
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
14 ax-icn 9039 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
15 pire 20362 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1615recni 9092 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
179, 14, 16mul12i 9251 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( _i  x.  pi ) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
1813, 17eqtri 2455 . . . 4  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
1918fveq2i 5723 . . 3  |-  ( exp `  ( ( 2  / 
3 )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )
20 6nn 10127 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
21 nndivre 10025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( pi  /  6
)  e.  RR )
2215, 20, 21mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
2322recni 9092 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
24 coshalfpip 20392 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  6
) ) )  = 
-u ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  -u ( sin `  ( pi 
/  6 ) )
26 2cn 10060 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
27 2ne0 10073 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
28 divrec2 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
pi  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  pi ) )
2916, 26, 27, 28mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  pi )
3020nncni 10000 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
3120nnne0i 10024 . . . . . . . . . 10  |-  6  =/=  0
32 divrec2 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  (
pi  /  6 )  =  ( ( 1  /  6 )  x.  pi ) )
3316, 30, 31, 32mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  6 )  =  ( ( 1  / 
6 )  x.  pi )
3429, 33oveq12i 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  +  ( ( 1  /  6
)  x.  pi ) )
3526, 27reccli 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
3630, 31reccli 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
3735, 36, 16adddiri 9091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  x.  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  +  ( ( 1  /  6
)  x.  pi ) )
38 halfpm6th 10182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  ( 1  /  6 ) )  =  ( 1  / 
3 )  /\  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
3938simpri 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 2  /  3
)
4039oveq1i 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  x.  pi )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi )
4134, 37, 403eqtr2i 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi )
4241fveq2i 5723 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
43 sincos6thpi 20413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
4443simpli 445 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
4544negeqi 9289 . . . . . . 7  |-  -u ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  = 
-u ( 1  / 
2 )
46 divneg 9699 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 ) )
472, 26, 27, 46mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 )
4845, 47eqtri 2455 . . . . . 6  |-  -u ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( -u 1  / 
2 )
4925, 42, 483eqtr3i 2463 . . . . 5  |-  ( cos `  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi ) )  =  (
-u 1  /  2
)
50 sinhalfpip 20390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  6
) ) )  =  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
5123, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
5241fveq2i 5723 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
5343simpri 449 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
5451, 52, 533eqtr3i 2463 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
5554oveq2i 6084 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( sqr `  3 )  /  2 ) )
56 3re 10061 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
57 3nn0 10229 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
5857nn0ge0i 10239 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  3
59 resqrcl 12049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( sqr `  3
)  e.  RR )
6056, 58, 59mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
6160recni 9092 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
6214, 61, 26, 27divassi 9760 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )  /  2 )  =  ( _i  x.  (
( sqr `  3
)  /  2 ) )
6355, 62eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )  /  2 )
6449, 63oveq12i 6085 . . . 4  |-  ( ( cos `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( -u 1  / 
2 )  +  ( ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )  /  2 ) )
659, 16mulcli 9085 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  pi )  e.  CC
66 efival 12743 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  pi )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( cos `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) ) ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . 4  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( ( cos `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) ) )
6814, 61mulcli 9085 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( sqr `  3
) )  e.  CC
691, 68, 26, 27divdiri 9761 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )  =  ( ( -u
1  /  2 )  +  ( ( _i  x.  ( sqr `  3
) )  /  2
) )
7064, 67, 693eqtr4i 2465 . . 3  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
7111, 19, 703eqtri 2459 . 2  |-  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  =  ( (
-u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
72 1z 10301 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
73 root1cj 20630 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 1 ) )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
3 ) ) ^
( 3  -  1 ) ) )
746, 72, 73mp2an 654 . . 3  |-  ( * `
 ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ (
3  -  1 ) )
75 cxpcl 20555 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  e.  CC )
761, 9, 75mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  e.  CC
77 exp1 11377 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) )  e.  CC  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 )  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
3 ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 1 )  =  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )
7978, 71eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 1 )  =  ( (
-u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
8079fveq2i 5723 . . . 4  |-  ( * `
 ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 ) )  =  ( * `
 ( ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )
811, 68addcli 9084 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  e.  CC
8281, 26cjdivi 11986 . . . . 5  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
* `  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( * `  ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  /  (
* `  2 )
) )
8327, 82ax-mp 8 . . . 4  |-  ( * `
 ( ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( * `  ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  /  (
* `  2 )
)
841, 68cjaddi 11983 . . . . . 6  |-  ( * `
 ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  +  ( * `  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) ) )
85 1re 9080 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8685renegcli 9352 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
87 cjre 11934 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( * `  -u 1
)  =  -u 1
)
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
8914, 61cjmuli 11984 . . . . . . . 8  |-  ( * `
 ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  =  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  ( sqr `  3
) ) )
90 cji 11954 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
91 cjre 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  3 )  e.  RR  ->  (
* `  ( sqr `  3 ) )  =  ( sqr `  3
) )
9260, 91ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 ( sqr `  3
) )  =  ( sqr `  3 )
9390, 92oveq12i 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  ( sqr `  3 ) ) )  =  (
-u _i  x.  ( sqr `  3 ) )
9414, 61mulneg1i 9469 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( sqr `  3
) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )
9589, 93, 943eqtri 2459 . . . . . . 7  |-  ( * `
 ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )
9688, 95oveq12i 6085 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  +  ( * `
 ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  =  ( -u 1  + 
-u ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )
971, 68negsubi 9368 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  -u (
_i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  =  ( -u 1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )
9884, 96, 973eqtri 2459 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  =  ( -u 1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )
99 cjre 11934 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
* `  2 )  =  2 )
1005, 99ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( * `
 2 )  =  2
10198, 100oveq12i 6085 . . . 4  |-  ( ( * `  ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) ) )  /  ( * ` 
2 ) )  =  ( ( -u 1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2
)
10280, 83, 1013eqtri 2459 . . 3  |-  ( * `
 ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 ) )  =  ( (
-u 1  -  (
_i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
103 3m1e2 10086 . . . 4  |-  ( 3  -  1 )  =  2
104103oveq2i 6084 . . 3  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ (
3  -  1 ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 2 )
10574, 102, 1043eqtr3ri 2464 . 2  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 2 )  =  ( (
-u 1  -  (
_i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
10671, 105pm3.2i 442 1  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) )  =  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )  /\  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( -u
1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981   _ici 8982    + caddc 8983    x. cmul 8985    <_ cle 9111    - cmin 9281   -ucneg 9282    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   3c3 10040   6c6 10043   ZZcz 10272   ^cexp 11372   *ccj 11891   sqrcsqr 12028   expce 12654   sincsin 12656   cosccos 12657   picpi 12659   logclog 20442    ^ c ccxp 20443
This theorem is referenced by:  1cubr  20672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-cxp 20445
  Copyright terms: Public domain W3C validator