Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1ded Unicode version

Theorem 1ded 25841
Description: Category  1 is a deductive system. We can think of the morphism of Category  1 as corresponding to  ph |-  ph. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
1ded.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
1ded  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded

Proof of Theorem 1ded
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ded.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
211alg 25825 . . 3  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg
3 elsni 3677 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { A }  ->  z  =  A )
4 opex 4253 . . . . . . . . . 10  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
51, 4fvsn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
)  =  <. A ,  A >.
65fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. )
74, 1fvsn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  A
86, 7eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A ) )  =  A
9 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z )  =  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A ) )
109fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) ) )
11 id 19 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  z  =  A )
128, 10, 113eqtr4a 2354 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z )
133, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( z  e.  { A }  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z
) )  =  z )
14 anidmdbi 627 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  { A }  ->  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z  /\  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z ) )  <->  ( z  e.  { A }  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z ) )
1513, 14mpbir 200 . . . 4  |-  ( z  e.  { A }  ->  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z  /\  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z ) )
1615rgen 2621 . . 3  |-  A. z  e.  { A }  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z
) )  =  z  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z )
17 elsni 3677 . . . . 5  |-  ( x  e.  { <. A ,  A >. }  ->  x  =  <. A ,  A >. )
18 elsni 3677 . . . . 5  |-  ( y  e.  { <. A ,  A >. }  ->  y  =  <. A ,  A >. )
19 opex 4253 . . . . . . . . . 10  |-  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  _V
2019snid 3680 . . . . . . . . 9  |-  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. }
214dmsnop 5163 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  =  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. }
2220, 21eleqtrri 2369 . . . . . . . 8  |-  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }
23 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
2422, 232th 230 . . . . . . 7  |-  ( <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.  e.  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
)
2524a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
) )
26 opeq12 3814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  x  =  <. A ,  A >. )  ->  <. y ,  x >.  =  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. )
2726eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  x  =  <. A ,  A >. )  ->  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  =  <. y ,  x >. )
2827ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  =  <. y ,  x >. )
2928eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } ) )
30 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  y  =  <. A ,  A >. )
3130eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  <. A ,  A >.  =  y )
3231adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  <. A ,  A >.  =  y )
3332fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
) )
34 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  x  =  <. A ,  A >. )
3534eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  <. A ,  A >.  =  x )
3635fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x
) )
3736adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x
) )
3833, 37eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
3925, 29, 383bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. y ,  x >.  e.  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
4017, 18, 39syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { <. A ,  A >. }  /\  y  e.  { <. A ,  A >. } )  -> 
( <. y ,  x >.  e.  dom  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
4140rgen2a 2622 . . 3  |-  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e. 
{ <. A ,  A >. }  ( <. y ,  x >.  e.  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) )
422, 16, 413pm3.2i 1130 . 2  |-  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  /\ 
A. z  e.  { A }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z  /\  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z )  /\  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( <. y ,  x >.  e.  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
43 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } `  <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.
)
4419, 4fvsn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } `  <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.
)  =  <. A ,  A >.
4543, 44eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  <. A ,  A >.
4645fveq2i 5544 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. )
4746a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. ) )
48 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x )  =  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
4948eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  (
<. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )
5049fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) ) )
51 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x )  =  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )
5251eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x )  =  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )
5352fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) ) )
5450, 53sylan9eq 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) ) )
55 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. ) )
5655eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x
) )
5756adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x
) )
5854, 57eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. )  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  (
y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
5947, 58syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
6017, 18, 59syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { <. A ,  A >. }  /\  y  e.  { <. A ,  A >. } )  -> 
( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )
6160rgen2a 2622 . . 3  |-  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e. 
{ <. A ,  A >. }  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) )
6243fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } `  <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.
) )
6344fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } `  <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.
) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )
6462, 63eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. )
6564a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. ) )
66 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  (
<. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
6766eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
68 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x )  =  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
6968eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  A >.  ->  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )
7067, 69sylan9eqr 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )
7170fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) ) )
72 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. ) )
7372eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
) )
7473adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
) )
7571, 74eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 <. A ,  A >. )  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  (
y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) ) )
7665, 75syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. A ,  A >.  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) ) )
7717, 18, 76syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { <. A ,  A >. }  /\  y  e.  { <. A ,  A >. } )  -> 
( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) ) )
7877rgen2a 2622 . . 3  |-  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e. 
{ <. A ,  A >. }  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )
7961, 78pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) )  /\  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) ) )
80 snex 4232 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V
81 snex 4232 . . . 4  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
8280, 80, 813pm3.2i 1130 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )
83 snex 4232 . . 3  |-  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
841dmsnop 5163 . . . . 5  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. }
8584eqcomi 2300 . . . 4  |-  { <. A ,  A >. }  =  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
864dmsnop 5163 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  =  { A }
8786eqcomi 2300 . . . 4  |-  { A }  =  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }
8885, 87isded 25839 . . 3  |-  ( ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  /\  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  ->  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded  <->  (
( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
>. ,  <. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  /\ 
A. z  e.  { A }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z  /\  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z )  /\  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( <. y ,  x >.  e.  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )  /\  ( A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e. 
{ <. A ,  A >. }  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) )  /\  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) ) ) ) ) )
8982, 83, 88mp2an 653 . 2  |-  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded  <->  (
( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
>. ,  <. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  /\ 
A. z  e.  { A }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z  /\  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  z ) )  =  z )  /\  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( <. y ,  x >.  e.  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  <->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) ) )  /\  ( A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e. 
{ <. A ,  A >. }  ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x ) )  /\  A. x  e.  { <. A ,  A >. } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  x )  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  ( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } x ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) ) ) ) )
9042, 79, 89mpbir2an 886 1  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Alg calg 25814   Dedcded 25837
This theorem is referenced by:  1cat  25862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-alg 25819  df-ded 25838
  Copyright terms: Public domain W3C validator