Theorem 1lt2pi 5186

Description: One is less than two (one plus one).

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 4393	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 4363	. . . . 5 |- (1o e. om -> (1o +o (/)) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- (1o +o (/)) = 1o
4		0lt1o 4283	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 3237	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 4375	. . . . . 6 |- (((/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om) -> ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 922	. . . . 5 |- ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 187	. . . 4 |- (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrri 1588	. . 3 |- 1o e. (1o +o 1o)
10		1pi 5165	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 5166	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 701	. . 3 |- (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrri 1590	. 2 |- 1o e. (1o +N 1o)
14		addclpi 5174	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
15	10, 10, 14	mp2an 701	. . 3 |- (1o +N 1o) e. N.
16		ltpiord 5169	. . 3 |- ((1o e. N. /\ (1o +N 1o) e. N.) -> (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 701	. 2 |- (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 188	1 |- 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  omcom 3218  (class class class)co 4021  1oc1o 4264   +o coa 4266  N.cnpi 5126   +N cpli 5127   <N clti 5129

This theorem is referenced by:  1lt2pq 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-ni 5154  df-pli 5155  df-lti 5157

Copyright terms: Public domain