Theorem 1lt2pi 5015

Description: One is less than two (one plus one).

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 4246	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 4216	. . . . 5 |- (1o e. om -> (1o +o (/)) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- (1o +o (/)) = 1o
4		0lt1o 4140	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 3145	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 4228	. . . . . 6 |- (((/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om) -> ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 915	. . . . 5 |- ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 189	. . . 4 |- (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrr 1543	. . 3 |- 1o e. (1o +o 1o)
10		1pi 4994	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 4995	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 696	. . 3 |- (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrr 1545	. 2 |- 1o e. (1o +N 1o)
14		addclpi 5003	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
15	10, 10, 14	mp2an 696	. . 3 |- (1o +N 1o) e. N.
16		ltpiord 4998	. . 3 |- ((1o e. N. /\ (1o +N 1o) e. N.) -> (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 696	. 2 |- (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 190	1 |- 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  (/)c0 2277   class class class wbr 2615  omcom 3127  (class class class)co 3958  1oc1o 4121   +o coa 4123  N.cnpi 4955   +N cpli 4956   <N clti 4958

This theorem is referenced by:  1lt2pq 5061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-ni 4983  df-pli 4984  df-lti 4986

Copyright terms: Public domain