Theorem 1lt2pq 5061

Description: One is less than two (one plus one).

Assertion

Ref	Expression
1lt2pq	|- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Proof of Theorem 1lt2pq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 5015	. . . . 5 |- 1o <N (1o +N 1o)
2		1pi 4994	. . . . . 6 |- 1o e. N.
3		mulidpi 4997	. . . . . 6 |- (1o e. N. -> (1o .N 1o) = 1o)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- (1o .N 1o) = 1o
5	4, 4	opreq12i 3968	. . . . 5 |- ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)) = (1o +N 1o)
6	1, 4, 5	3brtr4 2639	. . . 4 |- (1o .N 1o) <N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o))
7		oprex 3978	. . . . . 6 |- (1o .N 1o) e. V
8		oprex 3978	. . . . . 6 |- ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)) e. V
9	7, 8	ltmpi 5014	. . . . 5 |- (1o e. N. -> ((1o .N 1o) <N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)) <-> (1o .N (1o .N 1o)) <N (1o .N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)))))
10	2, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- ((1o .N 1o) <N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)) <-> (1o .N (1o .N 1o)) <N (1o .N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o))))
11	6, 10	mpbi 189	. . 3 |- (1o .N (1o .N 1o)) <N (1o .N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)))
12	2	elisseti 1815	. . . 4 |- 1o e. V
13	12, 12, 8, 7	ordpipq 5039	. . 3 |- ([<.1o, 1o>.] ~Q <Q [<.((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)), (1o .N 1o)>.] ~Q <-> (1o .N (1o .N 1o)) <N (1o .N ((1o .N 1o) +N (1o .N 1o))))
14	11, 13	mpbir 190	. 2 |- [<.1o, 1o>.] ~Q <Q [<.((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)), (1o .N 1o)>.] ~Q
15		df-1q 5026	. 2 |- 1Q = [<.1o, 1o>.] ~Q
16	15, 15	opreq12i 3968	. . 3 |- (1Q +Q 1Q) = ([<.1o, 1o>.] ~Q +Q [<.1o, 1o>.] ~Q )
17	2, 2	pm3.2i 285	. . . 4 |- (1o e. N. /\ 1o e. N.)
18		addpipq 5037	. . . 4 |- (((1o e. N. /\ 1o e. N.) /\ (1o e. N. /\ 1o e. N.)) -> ([<.1o, 1o>.] ~Q +Q [<.1o, 1o>.] ~Q ) = [<.((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)), (1o .N 1o)>.] ~Q )
19	17, 17, 18	mp2an 696	. . 3 |- ([<.1o, 1o>.] ~Q +Q [<.1o, 1o>.] ~Q ) = [<.((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)), (1o .N 1o)>.] ~Q
20	16, 19	eqtr 1493	. 2 |- (1Q +Q 1Q) = [<.((1o .N 1o) +N (1o .N 1o)), (1o .N 1o)>.] ~Q
21	14, 15, 20	3brtr4 2639	1 |- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2408   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  1oc1o 4121  [cec 4252  N.cnpi 4955   +N cpli 4956   .N cmi 4957   <N clti 4958   ~Q ceq 4961  1Qc1q 4963   +Q cplq 4964   <Q cltq 4967

This theorem is referenced by:  ltaddpq 5062  1pr 5100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-ltq 5025  df-1q 5026

Copyright terms: Public domain