Theorem 1nn 5882

Description: Peano postulate: 1 is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
1nn	|- 1 e. NN

Proof of Theorem 1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5241	. . . . 5 |- 1 e. CC
2	1	elisseti 1809	. . . 4 |- 1 e. V
3	2	elintab 2534	. . 3 |- (1 e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)} <-> A.x((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) -> 1 e. x))
4		pm3.26 319	. . 3 |- ((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) -> 1 e. x)
5	3, 4	mpgbir 985	. 2 |- 1 e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
6		df-n 5873	. 2 |- NN = |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
7	5, 6	eleqtrr 1539	1 |- 1 e. NN

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  {cab 1456  A.wral 1637  |^|cint 2523  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207   + caddc 5209  NNcn 5268

This theorem is referenced by:  dfnn2 5884  nnind 5885  nn1suc 5887  nnsub 5903  nnsubt 5904  nnaddm1clt 5905  2nn 5946  3nn 5947  nnunb 6017  1nn0 6061  1z 6106  elnn0nn 6118  nneo 6144  nneot 6145  zqt 6198  seq11lem 6252  seq1m1 6256  seq1rn 6259  seq1res 6264  ser1recl 6268  ser11 6272  ser1add2 6275  ser1add 6276  exp1t 6505  nnexpclt 6508  expnbndt 6585  nthruz 6677  seq1bnd 6847  seq1ublem 6848  facnnt 6870  fac0 6871  fac1 6872  facclt 6877  faclbnd3 6884  faclbnd4lem1 6885  faclbnd4lem2 6886  faclbnd4lem3 6887  faclbnd4lem4 6888  bcpasc2t 6906  bccl2t 6909  climub 7090  climsup 7091  caucvglem2 7094  caucvg3t 7104  ser1f0 7106  ser1const 7107  ser1clim0 7109  ser1cmp 7110  ser1cmp2 7113  cvgcmp 7120  cvgcmpub 7121  cvgcmp3cet 7126  expcnvlem3 7164  expcnvlem6 7167  cvgratlem2ALT 7183  ege2le3lem1 7269  ege2lem2 7270  ege2le3lem2 7271  efaddlem24 7303  ef1tllem 7323  ef1tlub 7324  ef01tlub 7327  absef01tlub 7329  eirr 7335  acdc3lem 7428  acdc2lem2 7431  acdc5lem2 7434  xpnnen 7441  infpnlem2 7450  ruclem6 7458  ruclem7 7459  ruclem8 7460  ruclem13 7465  ruclem16 7468  ruclem25 7477  ruclem29 7481  ruclem32 7484  ruclem33 7485  ruclem35 7487  ruclem37 7489  fsumcnlem 7923  bcthlem16 7948  bcthlem33 7965  ipcl 8299  hlim0 9026  projlem17 9118  projlem20 9121  projlem28 9129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143  df-1r 5144  df-c 5212  df-1 5214  df-r 5216  df-n 5873

Copyright terms: Public domain