Theorem 1nn 6079

Description: Peano postulate: 1 is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
1nn	|- 1 e. NN

Proof of Theorem 1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5423	. . . . 5 |- 1 e. CC
2	1	elisseti 1864	. . . 4 |- 1 e. V
3	2	elintab 2611	. . 3 |- (1 e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)} <-> A.x((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) -> 1 e. x))
4		pm3.26 317	. . 3 |- ((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) -> 1 e. x)
5	3, 4	mpgbir 1024	. 2 |- 1 e. |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
6		df-n 6070	. 2 |- NN = |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
7	5, 6	eleqtrri 1590	1 |- 1 e. NN

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994  {cab 1505  A.wral 1691  |^|cint 2600  (class class class)co 4021  CCcc 5386  1c1 5389   + caddc 5391  NNcn 5450

This theorem is referenced by:  dfnn2 6081  nnind 6082  nn1suc 6084  nnsubi 6102  nnsub 6103  nnaddm1cl 6104  2nn 6145  3nn 6146  nnunb 6238  1nn0 6282  1z 6327  elnn0nn 6339  nneoi 6368  nneo 6369  zq 6399  seq11lem 6680  seq1m1 6684  seq1rn 6687  seq1res 6692  ser1recli 6696  ser11i 6700  ser1add2i 6703  ser1addi 6704  exp1 6768  nnexpcl 6771  expnbnd 6852  nthruz 6947  seq1bndi 7113  seq1ublem 7114  facnn 7136  fac0 7137  fac1 7138  faccl 7143  faclbnd3 7150  faclbnd4lem1 7151  faclbnd4lem2 7152  faclbnd4lem3 7153  faclbnd4lem4 7154  bcpasc2 7171  bccl2 7174  climubi 7357  climsupi 7358  caucvglem2 7361  caucvg3 7371  ser1consti 7374  ser1clim0 7376  ser1cmpi 7377  ser1cmp2i 7380  cvgcmpi 7388  cvgcmpubi 7389  cvgcmp3ce 7394  expcnvlem3 7433  expcnvlem6 7436  cvgratlem2ALT 7453  ege2le3lem1 7532  ege2lem2 7533  ege2le3lem2 7534  efaddlem24 7566  ef1tllem 7586  ef1tlubi 7587  ef01tlubi 7591  absef01tlubi 7593  eirr 7599  acdc3lem 7697  acdc4lem1 7699  acdc2lem2 7701  acdc5lem2 7704  xpnnen 7711  infpnlem2 7719  ruclem6 7727  ruclem7 7728  ruclem8 7729  ruclem13 7734  ruclem16 7737  ruclem25 7746  ruclem29 7750  ruclem32 7753  ruclem33 7754  ruclem35 7756  ruclem37 7758  fsumcnlem 8200  bcthlem16 8225  bcthlem33 8242  gx1 8318  ipcl 8619  hlim0 9381  projlem17 9478  projlem20 9481  projlem28 9489  sdc 11877  incsequz 11879  trirn 11897  geomcau 11914  tlmconst 11968  heiborlem16 12026  heiborlem17 12027  heiborlem18 12028  heiborlem33 12043  heiborlem42 12052  bfplem2 12055  bfplem6 12059  bfp 12065  ismrer1 12080  reheibor 12081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-enr 5320  df-nr 5321  df-0r 5325  df-1r 5326  df-c 5394  df-1 5396  df-r 5398  df-n 6070

Copyright terms: Public domain