MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nn Structured version   Unicode version

Theorem 1nn 10011
Description: Peano postulate: 1 is a natural number. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
1nn  |-  1  e.  NN

Proof of Theorem 1nn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9086 . . . 4  |-  1  e.  _V
2 fr0g 6693 . . . 4  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
4 frfnom 6692 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 4864 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 5867 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 654 . . 3  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
83, 7eqeltrri 2507 . 2  |-  1  e.  ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
9 df-nn 10001 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
10 df-ima 4891 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
119, 10eqtri 2456 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
128, 11eleqtrri 2509 1  |-  1  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   (/)c0 3628    e. cmpt 4266   omcom 4845   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  dfnn2  10013  dfnn3  10014  nnind  10018  nn1suc  10021  2nn  10133  nnunb  10217  1nn0  10237  nn0p1nn  10259  elz2  10298  1z  10311  nneo  10353  elnn1uz2  10552  zq  10580  rpnnen1lem4  10603  rpnnen1lem5  10604  ser1const  11379  exp1  11387  nnexpcl  11394  expnbnd  11508  fac1  11570  faccl  11576  faclbnd3  11583  faclbnd4lem1  11584  faclbnd4lem2  11585  faclbnd4lem3  11586  faclbnd4lem4  11587  cats1un  11790  revs1  11797  cats1fvn  11822  isercolllem2  12459  isercolllem3  12460  isercoll  12461  sumsn  12534  climcndslem1  12629  climcndslem2  12630  eftlub  12710  eirrlem  12803  xpnnenOLD  12809  rpnnen2lem5  12818  rpnnen2lem8  12821  rpnnen2  12825  nthruz  12851  dvdsle  12895  ndvdsp1  12929  bitsfzolem  12946  bitsfzo  12947  bitsinv1lem  12953  gcd1  13032  1nprm  13084  1idssfct  13085  qden1elz  13149  phi1  13162  phiprm  13166  pcpre1  13216  pczpre  13221  pcmptcl  13260  pcmpt  13261  infpnlem2  13279  prmreclem1  13284  prmreclem6  13289  mul4sq  13322  vdwmc2  13347  vdwlem8  13356  vdwlem13  13361  vdwnnlem3  13365  5prm  13431  7prm  13433  11prm  13437  13prm  13438  17prm  13439  19prm  13440  37prm  13443  43prm  13444  83prm  13445  139prm  13446  163prm  13447  317prm  13448  631prm  13449  1259lem4  13453  1259lem5  13454  1259prm  13455  2503lem3  13458  2503prm  13459  4001lem1  13460  4001lem2  13461  4001lem3  13462  4001lem4  13463  4001prm  13464  baseid  13511  basendx  13514  2strstr  13565  rngstr  13576  lmodstr  13593  topgrpstr  13616  otpsstr  13623  ocndx  13628  ocid  13629  ressds  13641  resshom  13646  ressco  13647  oppcbas  13944  rescbas  14029  rescabs  14033  catstr  14154  ipostr  14579  mulg1  14897  mulg2  14899  oppgbas  15147  od1  15195  gex1  15225  efgsval2  15365  efgsp1  15369  torsubg  15469  pgpfaclem1  15639  mgpbas  15654  mgpds  15658  opprbas  15734  srabase  16250  srads  16257  opsrbas  16539  zlmbas  16799  znbas2  16820  thlbas  16923  thlle  16924  hauspwdom  17564  ressunif  18292  tuslem  18297  imasdsf1olem  18403  setsmsds  18506  tmslem  18512  tnglem  18681  tngbas  18682  tngds  18689  bcthlem4  19280  bcth3  19284  ovolmge0  19373  ovollb2  19385  ovolctb  19386  ovolunlem1a  19392  ovolunlem1  19393  ovoliunlem1  19398  ovoliun  19401  ovoliun2  19402  ovolicc1  19412  voliunlem1  19444  volsup  19450  ioombl1lem2  19453  ioombl1lem4  19455  uniioombllem1  19473  uniioombllem2  19475  uniioombllem6  19480  itg1climres  19606  itg2seq  19634  itg2monolem1  19642  itg2monolem2  19643  itg2monolem3  19644  itg2mono  19645  itg2i1fseq2  19648  itg2cnlem1  19653  aalioulem5  20253  aaliou2b  20258  aaliou3lem4  20263  aaliou3lem7  20266  dcubic1lem  20683  dcubic2  20684  mcubic  20687  log2ub  20789  emcllem6  20839  emcllem7  20840  ftalem7  20861  efnnfsumcl  20885  vmaprm  20900  efvmacl  20903  efchtdvds  20942  vma1  20949  prmorcht  20961  sqff1o  20965  pclogsum  20999  perfectlem1  21013  perfectlem2  21014  bpos1  21067  bposlem5  21072  lgsdir  21114  1lgs  21121  lgs1  21122  lgsquad2lem2  21143  dchrmusumlema  21187  dchrisum0lema  21208  usgraexmpl  21420  konigsberg  21709  gx1  21850  ipval2  22203  opsqrlem2  23644  ssnnssfz  24148  rge0scvg  24335  zlmds  24348  qqh0  24368  qqh1  24369  esumfzf  24459  esumfsup  24460  esumpcvgval  24468  voliune  24585  rrvsum  24712  ballotlem4  24756  ballotlemi1  24760  ballotlemii  24761  ballotlemic  24764  ballotlem1c  24765  lgam1  24848  gam1  24849  fprodnncl  25281  prodsn  25286  nnrisefaccl  25335  faclimlem1  25362  ovoliunnfl  26248  voliunnfl  26250  volsupnfl  26251  nn0prpwlem  26325  nn0prpw  26326  incsequz  26452  bfplem1  26531  rrncmslem  26541  bezoutr1  27051  jm2.23  27067  rmydioph  27085  rmxdioph  27087  expdiophlem2  27093  expdioph  27094  sumsnd  27673  wallispilem4  27793  wallispi2lem1  27796  wallispi2lem2  27797  stirlinglem8  27806  stirlinglem11  27809  stirlinglem12  27810  stirlinglem13  27811  lswrd0  28261  hlhilsbase  32740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-1cn 9048
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001
  Copyright terms: Public domain W3C validator