MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pi Structured version   Unicode version

Theorem 1pi 8752
Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1pi  |-  1o  e.  N.

Proof of Theorem 1pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6874 . 2  |-  1o  e.  om
2 1n0 6731 . 2  |-  1o  =/=  (/)
3 elni 8745 . 2  |-  ( 1o  e.  N.  <->  ( 1o  e.  om  /\  1o  =/=  (/) ) )
41, 2, 3mpbir2an 887 1  |-  1o  e.  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725    =/= wne 2598   (/)c0 3620   omcom 4837   1oc1o 6709   N.cnpi 8711
This theorem is referenced by:  mulidpi  8755  1lt2pi  8774  nlt1pi  8775  indpi  8776  pinq  8796  1nq  8797  1nqenq  8831  mulidnq  8832  1lt2nq  8842  archnq  8849  prlem934  8902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-1o 6716  df-ni 8741
  Copyright terms: Public domain W3C validator