MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pi Unicode version

Theorem 1pi 8523
Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1pi  |-  1o  e.  N.

Proof of Theorem 1pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6653 . 2  |-  1o  e.  om
2 1n0 6510 . 2  |-  1o  =/=  (/)
3 elni 8516 . 2  |-  ( 1o  e.  N.  <->  ( 1o  e.  om  /\  1o  =/=  (/) ) )
41, 2, 3mpbir2an 886 1  |-  1o  e.  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   omcom 4672   1oc1o 6488   N.cnpi 8482
This theorem is referenced by:  mulidpi  8526  1lt2pi  8545  nlt1pi  8546  indpi  8547  pinq  8567  1nq  8568  1nqenq  8602  mulidnq  8603  1lt2nq  8613  archnq  8620  prlem934  8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-1o 6495  df-ni 8512
  Copyright terms: Public domain W3C validator