Theorem 1pr 5089

Description: The positive real number 'one'.

Assertion

Ref	Expression
1pr	|- 1P e. P.

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnp 5064	. 2 |- (1P e. P. <-> (((/) (. 1P /\ 1P (. Q.) /\ A.x e. 1P (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y)))
2		1lt2pq 5050	. . . . . . 7 |- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
3		1q 5029	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
4	3	elisseti 1809	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. V
5		oprex 3968	. . . . . . . . 9 |- (1Q +Q 1Q) e. V
6	4, 5	ltrpq 5057	. . . . . . . 8 |- (1Q <Q (1Q +Q 1Q) -> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q (*Q` 1Q))
7		fvex 3717	. . . . . . . . . 10 |- (*Q` 1Q) e. V
8	7, 4	mulcompq 5036	. . . . . . . . 9 |- ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (1Q .Q (*Q` 1Q))
9		recclpq 5044	. . . . . . . . . . 11 |- (1Q e. Q. -> (*Q` 1Q) e. Q.)
10	3, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (*Q` 1Q) e. Q.
11		mulidpq 5041	. . . . . . . . . 10 |- ((*Q` 1Q) e. Q. -> ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (*Q` 1Q))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (*Q` 1Q)
13		recidpq 5043	. . . . . . . . . 10 |- (1Q e. Q. -> (1Q .Q (*Q` 1Q)) = 1Q)
14	3, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (1Q .Q (*Q` 1Q)) = 1Q
15	8, 12, 14	3eqtr3 1495	. . . . . . . 8 |- (*Q` 1Q) = 1Q
16	6, 15	syl6breq 2644	. . . . . . 7 |- (1Q <Q (1Q +Q 1Q) -> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q
18		fvex 3717	. . . . . . 7 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) e. V
19		breq1 2612	. . . . . . 7 |- (x = (*Q` (1Q +Q 1Q)) -> (x <Q 1Q <-> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q))
20		df-1p 5059	. . . . . . 7 |- 1P = {x | x <Q 1Q}
21	18, 19, 20	elab2 1892	. . . . . 6 |- ((*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P <-> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
22	17, 21	mpbir 190	. . . . 5 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P
23		ne0i 2276	. . . . 5 |- ((*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P -> 1P =/= (/))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . 4 |- 1P =/= (/)
25		0pss 2298	. . . 4 |- ((/) (. 1P <-> 1P =/= (/))
26	24, 25	mpbir 190	. . 3 |- (/) (. 1P
27		dfpss2 2123	. . . 4 |- (1P (. Q. <-> (1P (_ Q. /\ -. 1P = Q.))
28	20	abeq2i 1562	. . . . . 6 |- (x e. 1P <-> x <Q 1Q)
29		ltrelpq 5023	. . . . . . . 8 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
30	4, 29	brel 3213	. . . . . . 7 |- (x <Q 1Q -> (x e. Q. /\ 1Q e. Q.))
31	30	pm3.26d 321	. . . . . 6 |- (x <Q 1Q -> x e. Q.)
32	28, 31	sylbi 199	. . . . 5 |- (x e. 1P -> x e. Q.)
33	32	ssriv 2059	. . . 4 |- 1P (_ Q.
34		ltsopq 5047	. . . . . . 7 |- <Q Or Q.
35	4, 34, 29	soirri 3428	. . . . . 6 |- -. 1Q <Q 1Q
36		breq1 2612	. . . . . . 7 |- (x = 1Q -> (x <Q 1Q <-> 1Q <Q 1Q))
37	4, 36, 20	elab2 1892	. . . . . 6 |- (1Q e. 1P <-> 1Q <Q 1Q)
38	35, 37	mtbir 192	. . . . 5 |- -. 1Q e. 1P
39		eleq2 1527	. . . . . 6 |- (1P = Q. -> (1Q e. 1P <-> 1Q e. Q.))
40	3, 39	mpbiri 194	. . . . 5 |- (1P = Q. -> 1Q e. 1P)
41	38, 40	mto 106	. . . 4 |- -. 1P = Q.
42	27, 33, 41	mpbir2an 728	. . 3 |- 1P (. Q.
43	26, 42	pm3.2i 285	. 2 |- ((/) (. 1P /\ 1P (. Q.)
44		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- y e. V
45		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- x e. V
46	44, 34, 29, 45, 4	sotri 3429	. . . . . . . 8 |- ((y <Q x /\ x <Q 1Q) -> y <Q 1Q)
47	46	ex 373	. . . . . . 7 |- (y <Q x -> (x <Q 1Q -> y <Q 1Q))
48		df-1p 5059	. . . . . . . 8 |- 1P = {y | y <Q 1Q}
49	48	abeq2i 1562	. . . . . . 7 |- (y e. 1P <-> y <Q 1Q)
50	47, 28, 49	3imtr4g 551	. . . . . 6 |- (y <Q x -> (x e. 1P -> y e. 1P))
51	50	com12 11	. . . . 5 |- (x e. 1P -> (y <Q x -> y e. 1P))
52	51	19.21aiv 1281	. . . 4 |- (x e. 1P -> A.y(y <Q x -> y e. 1P))
53	45, 4	ltbtwnpq 5056	. . . . . 6 |- (x <Q 1Q -> E.y(x <Q y /\ y <Q 1Q))
54	49	anbi1i 480	. . . . . . . 8 |- ((y e. 1P /\ x <Q y) <-> (y <Q 1Q /\ x <Q y))
55		ancom 435	. . . . . . . 8 |- ((y <Q 1Q /\ x <Q y) <-> (x <Q y /\ y <Q 1Q))
56	54, 55	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. 1P /\ x <Q y) <-> (x <Q y /\ y <Q 1Q))
57	56	exbii 1047	. . . . . 6 |- (E.y(y e. 1P /\ x <Q y) <-> E.y(x <Q y /\ y <Q 1Q))
58	53, 28, 57	3imtr4 219	. . . . 5 |- (x e. 1P -> E.y(y e. 1P /\ x <Q y))
59		df-rex 1642	. . . . 5 |- (E.y e. 1P x <Q y <-> E.y(y e. 1P /\ x <Q y))
60	58, 59	sylibr 200	. . . 4 |- (x e. 1P -> E.y e. 1P x <Q y)
61	52, 60	jca 288	. . 3 |- (x e. 1P -> (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y))
62	61	rgen 1690	. 2 |- A.x e. 1P (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y)
63	1, 43, 62	mpbir2an 728	1 |- 1P e. P.

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638   (_ wss 2037   (. wpss 2038  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  Q.cnq 4951  1Qc1q 4952   +Q cplq 4953   .Q cmq 4954  *Qcrq 4955   <Q cltq 4956  P.cnp 4957  1Pc1p 4958

This theorem is referenced by:  1idpr 5105  recexpr 5132  gt0srpr 5159  0r 5161  1r 5162  m1r 5163  m1p1sr 5173  m1m1sr 5174  0lt1sr 5176  0idsr 5178  1idsr 5179  00sr 5180  recexsrlem 5184  mappsrpr 5190  ltpsrpr 5191  map2psrpr 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059

Copyright terms: Public domain