Theorem 1re 5447

Description: 1 is a real number. This used to be one of our postulates for complex numbers, but Eric Schmidt discovered that it could be derived from a weaker postulate, ax1cn 5281, by exploiting properties of the imaginary unit i. (Contributed by Eric Schmidt, 11-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1re	|- 1 e. RR

Proof of Theorem 1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 5282	. . . 4 |- i e. CC
2		axcnre 5298	. . . 4 |- (i e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR i = (x + (i x. y)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.x e. RR E.y e. RR i = (x + (i x. y))
4		neeq1 1593	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z =/= 0 <-> x =/= 0))
5	4	rcla4ev 1880	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ x =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
6	5	adantlr 395	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ x =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
7		neeq1 1593	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (z =/= 0 <-> y =/= 0))
8	7	rcla4ev 1880	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ y =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
9	8	adantll 394	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ y =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0)
10	6, 9	jaodan 428	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (x =/= 0 \/ y =/= 0)) -> E.z e. RR z =/= 0)
11	10	ex 373	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((x =/= 0 \/ y =/= 0) -> E.z e. RR z =/= 0))
12		ine0 5446	. . . . . . 7 |- i =/= 0
13		neeq1 1593	. . . . . . 7 |- (i = (x + (i x. y)) -> (i =/= 0 <-> (x + (i x. y)) =/= 0))
14	12, 13	mpbii 193	. . . . . 6 |- (i = (x + (i x. y)) -> (x + (i x. y)) =/= 0)
15		ioran 306	. . . . . . . . 9 |- (-. (x =/= 0 \/ y =/= 0) <-> (-. x =/= 0 /\ -. y =/= 0))
16		nne 1592	. . . . . . . . . 10 |- (-. x =/= 0 <-> x = 0)
17		nne 1592	. . . . . . . . . 10 |- (-. y =/= 0 <-> y = 0)
18	16, 17	anbi12i 484	. . . . . . . . 9 |- ((-. x =/= 0 /\ -. y =/= 0) <-> (x = 0 /\ y = 0))
19	15, 18	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (-. (x =/= 0 \/ y =/= 0) <-> (x = 0 /\ y = 0))
20		opreq12 3976	. . . . . . . . . 10 |- ((x = 0 /\ (i x. y) = 0) -> (x + (i x. y)) = (0 + 0))
21		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0 -> (i x. y) = (i x. 0))
22	1	mul01 5443	. . . . . . . . . . 11 |- (i x. 0) = 0
23	21, 22	syl6eq 1526	. . . . . . . . . 10 |- (y = 0 -> (i x. y) = 0)
24	20, 23	sylan2 453	. . . . . . . . 9 |- ((x = 0 /\ y = 0) -> (x + (i x. y)) = (0 + 0))
25		0cn 5340	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
26	25	addid1 5342	. . . . . . . . 9 |- (0 + 0) = 0
27	24, 26	syl6eq 1526	. . . . . . . 8 |- ((x = 0 /\ y = 0) -> (x + (i x. y)) = 0)
28	19, 27	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (-. (x =/= 0 \/ y =/= 0) -> (x + (i x. y)) = 0)
29	28	necon1ai 1611	. . . . . 6 |- ((x + (i x. y)) =/= 0 -> (x =/= 0 \/ y =/= 0))
30	14, 29	syl 10	. . . . 5 |- (i = (x + (i x. y)) -> (x =/= 0 \/ y =/= 0))
31	11, 30	syl5 21	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (i = (x + (i x. y)) -> E.z e. RR z =/= 0))
32	31	r19.23aivv 1751	. . 3 |- (E.x e. RR E.y e. RR i = (x + (i x. y)) -> E.z e. RR z =/= 0)
33	3, 32	ax-mp 7	. 2 |- E.z e. RR z =/= 0
34		axrrecex 5296	. . . 4 |- ((z e. RR /\ z =/= 0) -> E.x e. RR (z x. x) = 1)
35		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- ((z x. x) = 1 -> ((z x. x) e. RR <-> 1 e. RR))
36		axmulrcl 5286	. . . . . . 7 |- ((z e. RR /\ x e. RR) -> (z x. x) e. RR)
37	35, 36	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- ((z e. RR /\ x e. RR) -> ((z x. x) = 1 -> 1 e. RR))
38	37	r19.23adva 1750	. . . . 5 |- (z e. RR -> (E.x e. RR (z x. x) = 1 -> 1 e. RR))
39	38	adantr 391	. . . 4 |- ((z e. RR /\ z =/= 0) -> (E.x e. RR (z x. x) = 1 -> 1 e. RR))
40	34, 39	mpd 26	. . 3 |- ((z e. RR /\ z =/= 0) -> 1 e. RR)
41	40	r19.23aiva 1747	. 2 |- (E.z e. RR z =/= 0 -> 1 e. RR)
42	33, 41	ax-mp 7	1 |- 1 e. RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251

This theorem is referenced by:  peano2re 5448  renegclt 5449  0reALT 5453  peano2rem 5454  lt01 5692  redivclz 5801  rereccl 5803  rerecclz 5804  rerecclt 5805  eqneg 5806  ltp1t 5813  recgt0i 5816  ltm1t 5817  prodgt0 5821  ltmul1 5824  ltdiv1 5826  mulgt1t 5847  ltmulgt11t 5848  lemulge11t 5850  recgt0t 5863  ltrec 5881  reclt1t 5900  recgt1t 5901  recgt1it 5902  recp1lt1 5903  recrecltt 5904  halfpos 5906  ledivp1 5908  ltdivp1 5909  posex 5910  nnssre 5929  nnge1t 5945  nngt1ne1t 5946  nnle1eq1t 5947  nngt0t 5948  lt1nnn 5949  nnrecgt0t 5955  nnleltp1t 5956  nnltp1let 5957  nnsub 5958  nnaddm1clt 5960  2re 5981  3re 5983  4re 5984  5re 5985  6re 5986  7re 5987  8re 5988  9re 5989  10re 5990  2pos 5991  3pos 5993  4pos 5994  5pos 5995  6pos 5996  7pos 5997  8pos 5998  9pos 5999  10pos 6000  1lt2 6030  halflt1 6032  nnunb 6072  nnreclt 6074  xrub 6082  lt0nnn0 6118  nn0ltp1let 6129  nn0leltp1t 6130  nn0ltlem1t 6131  elnnz1 6157  znnnlt1t 6158  elnn0nn 6173  zltp1let 6183  zleltp1t 6184  recnzt 6193  gtndivt 6195  nneo 6199  dfuz 6204  uzindOLD 6210  nn0ind-raph 6216  zbtwnre 6223  rebtwnz 6224  fraclt1t 6233  flbi2t 6243  fldivt 6256  qbtwnre 6279  qbtwnxr 6280  monoord 6295  seq1lem2 6311  eluzp1m1t 6434  eluzp1p1t 6436  reexpclt 6581  rpexpclt 6583  expge0t 6592  expge1t 6594  expordit 6601  expwordit 6604  expword2it 6606  expmwordit 6607  exple1t 6608  bernneq 6653  bernneq2 6654  expnbndt 6655  expnlbndt 6656  discrlem2 6658  discrlem3 6659  nnlesq 6662  nnesq 6663  sqrlem1 6674  sqrlem2 6675  sqrlem3 6676  sqrlem6 6679  sqrlem8 6681  sqrlem9 6682  sqrlem10 6683  sqrlem11 6684  sqrlem16 6689  sqrlem19 6692  sqrlem20 6693  sqrlem21 6694  sqrlem22 6695  sqrth 6700  sqrcl 6701  sqrgt0 6702  sqr1 6717  sqr2gt1lt2 6720  sqr2irrlem1 6725  inelr 6736  nthruz 6747  cjexpt 6817  re1 6822  im1 6823  rei 6824  imi 6825  absexpt 6868  abs1m 6904  seq1bnd 6910  caubnd 6926  facwordit 6944  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  faclbnd4lem4 6951  facavgt 6955  bcnp11t 6965  bcnp1nt 6966  bcpasc2 6967  bcpasc2t 6968  bcpasc 6969  bccl2t 6971  climmullem1 7120  climmullem2 7121  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climmullem5 7124  serzf0 7169  ser1f0 7170  fnsmnt 7226  expcnvlem1 7227  expcnvlem2 7228  expcnvlem4 7230  expcnvlem5 7231  geolimilem 7235  geolim1i 7238  georeclim 7240  geoisumr 7243  geoisum1c 7245  0.999... 7246  mulc1cncf 7279  efcltlem1 7304  erelem7 7325  ele3lem 7326  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329  ere 7330  efaddlem1 7338  efaddlem2 7339  efaddlem7 7344  efaddlem8 7345  efaddlem10 7347  efaddlem12 7349  efaddlem13 7350  efaddlem15 7352  efaddlem20 7357  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  ef01tlub 7386  absef01tlub 7388  eirrlem1 7389  eirrlem3 7391  eirrlem4 7392  abspef01tlub 7395  efgt1 7403  efgt0 7404  eflt 7406  eflegeolem2 7414  efm1legeo 7417  efcnlem1 7419  efcnlem2 7420  efcnlem4 7422  reeff1olem1 7424  reeff1o 7426  resin4pt 7436  recos4pt 7437  sinbndt 7466  cosbndt 7467  sin01bndlem2 7469  sin01bndlem3 7470  cos01bndlem2 7471  cos01bndlem3 7472  cos1bnd 7475  cos2bnd 7476  sin01gt0 7477  cos01gt0 7478  sin02gt0 7479  sincos1sgn 7480  infpn2 7510  ruclem8 7518  ruclem13 7523  ruclem25 7535  blex 7846  opnm 7857  tgioolem 7911  dscmet 7915  lmnn 7932  caun0 7942  bcthlem16 8011  bcthlem18 8013  nvm1 8288  nvmtri 8295  nv1 8300  sm1cnilem 8343  ipid 8359  nmosetn0 8424  nmoub3i 8432  nmo0 8447  nmlno0lem 8449  blocnilem 8460  ipasslem10 8495  minveclem25 8565  htthlem6 8621  sinhalfpilem 8674  sinperlem1 8681  sincos4thpi 8705  sincos6thpi 8706  sineq0 8708  efifolem1 8717  efifolem3 8719  efifolem4 8720  efifolem5 8721  efifolem6 8722  efifolem7 8723  log1 8761  loge 8762  hisubcom 8965  normlem9 8979  normlem7tALT 8980  norm-ii 8999  normsub 9003  bcs2t 9044  norm1t 9116  projlem1 9181  projlem2 9182  projlem4 9184  projlem6 9186  projlem28 9208  projlem29 9209  nmopsetn0 9787  nmfnsetn0 9800  nmopub2tALT 9828  nmopge0t 9830  nmfnleub2t 9845  nmfnge0t 9846  0cnop 9898  0cnfn 9899  nmop0 9905  nmfn0 9906  nmlnop0ALT 9915  nmopunt 9934  unopbdt 9935  hmopdt 9942  nmcopexlem2 9947  nmcopexlem5 9950  nmcfnexlem2 9976  nmcfnexlem5 9979  nmopadjlem 10017  nmopco 10023  nmopcoadj 10029  branmfnt 10033  pjnmop 10070  pjbdln 10071  hstle1t 10148  hstlet 10152  hstlest 10153  stge1 10160  stles 10163  stadd 10168  stadd3 10170  strlem1 10172  strlem3a 10174  strlem5 10177  strlem6 10178  hstrlem6 10186  jplem1 10190  cdj1 10355  iintlem2 10604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370

Copyright terms: Public domain