Theorem 1st2val 4033

Description: Value of an alternate definition of the 1st function.

Assertion

Ref	Expression
1st2val	|- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem 1st2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1788	. . . . . 6 |- w e. V
2	1	op1st 4023	. . . . 5 |- (1st` <.w, v>.) = w
3		visset 1788	. . . . . 6 |- v e. V
4		id 59	. . . . . . 7 |- (x = w -> x = w)
5		eqid 1452	. . . . . . . 8 |- w = w
6	5	a1i 8	. . . . . . 7 |- (y = v -> w = w)
7		eqid 1452	. . . . . . 7 |- {<.<.x, y>., z>. | z = x} = {<.<.x, y>., z>. | z = x}
8	1, 4, 6, 7	oprabval5 3968	. . . . . 6 |- ((w e. V /\ v e. V) -> (w{<.<.x, y>., z>. | z = x}v) = w)
9	1, 3, 8	mp2an 694	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = x}v) = w
10		df-opr 3904	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = x}v) = ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.)
11	2, 9, 10	3eqtr2r 1478	. . . 4 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = (1st` <.w, v>.)
12		fveq2 3663	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A))
13		fveq2 3663	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> (1st` <.w, v>.) = (1st` A))
14	12, 13	eqeq12d 1465	. . . 4 |- (<.w, v>. = A -> (({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = (1st` <.w, v>.) <-> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A)))
15	11, 14	mpbii 193	. . 3 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A))
16	15	19.23aivv 1278	. 2 |- (E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A))
17		visset 1788	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
18		visset 1788	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
19	17, 18	pm3.2i 285	. . . . . . . . . 10 |- (x e. V /\ y e. V)
20		a9e 1112	. . . . . . . . . 10 |- E.z z = x
21	19, 20	2th 715	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ y e. V) <-> E.z z = x)
22	21	opabbii 2639	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)} = {<.x, y>. | E.z z = x}
23		df-xp 3147	. . . . . . . 8 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
24		dmoprab 3941	. . . . . . . 8 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} = {<.x, y>. | E.z z = x}
25	22, 23, 24	3eqtr4r 1482	. . . . . . 7 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} = (V X. V)
26	25	eleq2i 1514	. . . . . 6 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} <-> A e. (V X. V))
27		elvv 3190	. . . . . 6 |- (A e. (V X. V) <-> E.wE.v A = <.w, v>.)
28		eqcom 1453	. . . . . . 7 |- (A = <.w, v>. <-> <.w, v>. = A)
29	28	2exbii 1028	. . . . . 6 |- (E.wE.v A = <.w, v>. <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
30	26, 27, 29	3bitr 177	. . . . 5 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
31	30	negbii 187	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} <-> -. E.wE.v<.w, v>. = A)
32		ndmfv 3684	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (/))
33	31, 32	sylbir 201	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (/))
34		n0 2260	. . . . . . . . 9 |- (-. dom { A} = (/) <-> E.w w e. dom { A})
35	1	eldm2 3265	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. dom { A} <-> E.v<.w, v>. e. {A})
36		opex 2750	. . . . . . . . . . . . 13 |- <.w, v>. e. V
37	36	elsnc 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, v>. e. {A} <-> <.w, v>. = A)
38	37	exbii 1027	. . . . . . . . . . 11 |- (E.v<.w, v>. e. {A} <-> E.v<.w, v>. = A)
39	35, 38	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- (w e. dom { A} <-> E.v<.w, v>. = A)
40	39	exbii 1027	. . . . . . . . 9 |- (E.w w e. dom { A} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
41	34, 40	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (-. dom { A} = (/) <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
42	41	biimp 151	. . . . . . 7 |- (-. dom { A} = (/) -> E.wE.v<.w, v>. = A)
43	42	con1i 96	. . . . . 6 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> dom { A} = (/))
44	43	unieqd 2480	. . . . 5 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.dom { A} = U.(/))
45		uni0 2493	. . . . 5 |- U.(/) = (/)
46	44, 45	syl6eq 1499	. . . 4 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.dom { A} = (/))
47		1stval 4019	. . . 4 |- (1st` A) = U.dom { A}
48	46, 47	syl5eq 1495	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> (1st` A) = (/))
49	33, 48	eqtr4d 1486	. 2 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A))
50	16, 49	pm2.61i 126	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  (/)c0 2251  {csn 2380  <.cop 2382  U.cuni 2471  {copab 2634   X. cxp 3131  dom cdm 3133  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  {copab2 3903  1stc1st 4015

This theorem is referenced by:  df1st2 4064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fv 3161  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017

Copyright terms: Public domain