Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Unicode version

Theorem 1stccn 17205
 Description: A mapping , where is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence converging to , its image under converges to . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1
1stccnp.2 TopOn
1stccnp.3 TopOn
1stccn.7
Assertion
Ref Expression
1stccn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4 TopOn
2 1stccnp.3 . . . 4 TopOn
3 cncnp 17025 . . . 4 TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 642 . . 3
5 1stccn.7 . . . 4
65biantrurd 494 . . 3
74, 6bitr4d 247 . 2
8 1stccnp.1 . . . . . 6
98adantr 451 . . . . 5
101adantr 451 . . . . 5 TopOn
112adantr 451 . . . . 5 TopOn
12 simpr 447 . . . . 5
139, 10, 11, 121stccnp 17204 . . . 4
145adantr 451 . . . . 5
1514biantrurd 494 . . . 4
1613, 15bitr4d 247 . . 3
1716ralbidva 2572 . 2
18 ralcom4 2819 . . 3
19 impexp 433 . . . . . . 7
2019ralbii 2580 . . . . . 6
21 r19.21v 2643 . . . . . 6
2220, 21bitri 240 . . . . 5
23 df-ral 2561 . . . . . . 7
24 lmcl 17041 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
251, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
2625ex 423 . . . . . . . . . . 11
2726pm4.71rd 616 . . . . . . . . . 10
2827imbi1d 308 . . . . . . . . 9
29 impexp 433 . . . . . . . . 9
3028, 29syl6rbb 253 . . . . . . . 8
3130albidv 1615 . . . . . . 7
3223, 31syl5bb 248 . . . . . 6
3332imbi2d 307 . . . . 5
3422, 33syl5bb 248 . . . 4
3534albidv 1615 . . 3
3618, 35syl5bb 248 . 2
377, 17, 363bitrd 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1530   wcel 1696  wral 2556   class class class wbr 4039   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cn 9762  TopOnctopon 16648   ccn 16970   ccnp 16971  clm 16972  c1stc 17179 This theorem is referenced by:  metcn4  18752 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-1stc 17181
 Copyright terms: Public domain W3C validator