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Theorem 1stckgen 17588
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables  k 
f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 17508 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 difss 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  \  x )  C_  U. J
3 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
431stcelcls 17526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
52, 4mpan2 654 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  <->  E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) ) )
65adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
71adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  J  e.  Top )
87adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  Top )
93toptopon 17000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  J )
y )
12 lmcl 17363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  f
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  U. J
)
1310, 11, 12syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  U. J )
14 nnuz 10523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
1615rnex 5135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  e.  _V
17 snex 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y }  e.  _V
1816, 17unex 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V
19 resttop 17226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  e. 
_V )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  e.  Top )
208, 18, 19sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Top )
21 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )
2221toptopon 17000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  Top  <->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
2320, 22sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
24 1z 10313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  1  e.  ZZ )
26 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V )
28 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y }  C_  ( ran  f  u.  { y } )
29 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3029snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ran  f  u.  { y } )  <->  { y }  C_  ( ran  f  u.  {
y } ) )
3128, 30mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e.  ( ran  f  u. 
{ y } )
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ran  f  u.  {
y } ) )
33 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  -> 
f  Fn  NN )
3433ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f  Fn  NN )
35 dffn3 5600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  NN  <->  f : NN
--> ran  f )
3634, 35sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ran  f )
37 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  C_  ( ran  f  u. 
{ y } )
38 fss 5601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN --> ran  f  /\  ran  f  C_  ( ran  f  u.  { y } ) )  -> 
f : NN --> ( ran  f  u.  { y } ) )
3936, 37, 38sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( ran  f  u. 
{ y } ) )
4026, 14, 27, 8, 32, 25, 39lmss 17364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( f
( ~~> t `  J
) y  <->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y ) )
4111, 40mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y )
4239ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ran  f  u.  { y } ) )
43 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( U. J  \  x ) )
4443ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( U. J  \  x ) )
4544eldifbd 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k )  e.  x
)
4642, 45eldifd 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \  x ) )
47 difin 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \ 
( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)
48 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x ) )
4948ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x
) )
5049difss2d 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  U. J )
5113snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  { y }  C_  U. J )
5250, 51unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  C_  U. J
)
533restuni 17228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  C_  U. J )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
548, 52, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
5554difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  (
( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
) ) )
5647, 55syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) ) )
57 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x )  =  ( x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )
58 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
59 fss 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  f : NN --> U. J )
6043, 2, 59sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> U. J )
6110, 60, 111stckgenlem 17587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )
62 kgeni 17571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )  ->  (
x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
6358, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( x  i^i  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6457, 63syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
)  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6521opncld 17099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  Top  /\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6620, 64, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6756, 66eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) )
6814, 23, 25, 41, 46, 67lmcld 17369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ( ran  f  u.  { y } ) 
\  x ) )
6968eldifbd 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  -.  y  e.  x )
7013, 69eldifd 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) )
7170ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7271exlimdv 1647 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x ) ) )
736, 72sylbid 208 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7473ssrdv 3356 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) )
753iscld4 17131 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
767, 2, 75sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
7774, 76mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
78 elssuni 4045 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
7978adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
803kgenuni 17573 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
817, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
8279, 81sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. J
)
833isopn2 17098 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
847, 82, 83syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
8577, 84mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  e.  J
)
8685ex 425 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  e.  J )
)
8786ssrdv 3356 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
88 iskgen2 17582 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
891, 87, 88sylanbrc 647 1  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214   ran crn 4881    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1c1 8993   NNcn 10002   ZZcz 10284   ↾t crest 13650   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Clsdccld 17082   clsccl 17084   ~~> tclm 17292   Compccmp 17451   1stcc1stc 17502  𝑘Genckgen 17567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-lm 17295  df-cmp 17452  df-1stc 17504  df-kgen 17568
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