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Theorem 1stckgenlem 17264
Description: The one-point compactification of  NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stckgen.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
1stckgen.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )

Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables  j 
k  n  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
)
2 ssun2 3352 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
5 lmcl 17041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  X )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 snssg 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A }
)  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A } )  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
92, 8mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ran 
F  u.  { A } ) )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  ( ran  F  u.  { A } ) )
111, 10sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  U. u )
12 eluni2 3847 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. u  <->  E. w  e.  u  A  e.  w )
1311, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. w  e.  u  A  e.  w )
14 nnuz 10279 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  A  e.  w )
16 1z 10069 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  1  e.  ZZ )
184ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  F
( ~~> t `  J
) A )
19 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  e.  ~P J )
20 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ~P J  ->  u  C_  J )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  C_  J )
22 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  u )
2321, 22sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  J )
2414, 15, 17, 18, 23lmcvg 17008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w )
25 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ran  F
26 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  F  C_  ( ran  F  u.  { A } )
2725, 26sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ( ran  F  u.  { A } )
28 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u )
2927, 28syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u )
30 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
31 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : NN --> X  ->  ran  F  C_  X )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  X
)
3325, 32syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  X )
34 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  X )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
353, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j
) ) ) )
36 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Top )
38 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  e.  Fin )
39 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : NN --> X  ->  Fun  F )
4030, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Fun  F )
41 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
4241ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... j )  C_  NN
43 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : NN --> X  ->  dom  F  =  NN )
4430, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  dom  F  =  NN )
4542, 44syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  C_  dom  F )
46 fores 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j
) -onto-> ( F "
( 1 ... j
) ) )
4740, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )
48 fofi 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )  ->  ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
4938, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) )  e.  Fin )
50 pwfi 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F " ( 1 ... j ) )  e.  Fin  <->  ~P ( F " ( 1 ... j ) )  e. 
Fin )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
52 restsspw 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  C_  ~P ( F " ( 1 ... j ) )
53 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  C_  ~P ( F " (
1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin )
55 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin ) )
5637, 54, 55sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) )
57 fincmp 17136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Comp )
59 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
603, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
623, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
6333, 62sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. J )
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  =  U. J
6564cmpsub 17143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " ( 1 ... j ) ) 
C_  U. J )  -> 
( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6660, 63, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6758, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6867r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6929, 68syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
7069impr 602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s
)
72 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
~P u
73 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
)
7472, 73sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
75 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  ~P u  -> 
s  C_  u )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  C_  u )
77 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  w  e.  u
)
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  w  e.  u )
7978snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { w }  C_  u )
8076, 79unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  C_  u )
81 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
8281elpw2 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P u 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  u )
8380, 82sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
~P u )
84 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
Fin
8584, 73sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  Fin )
86 snfi 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w }  e.  Fin
87 unfi 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  { w }  e.  Fin )  ->  ( s  u. 
{ w } )  e.  Fin )
8885, 86, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
Fin )
89 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ( s  u. 
{ w } )  e.  ~P u  /\  ( s  u.  {
w } )  e. 
Fin ) )
9083, 88, 89sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) )
91 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : NN --> X  ->  F  Fn  NN )
9230, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
9392ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  F  Fn  NN )
94 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  w )
96 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
9796eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  w  <->  ( F `  n )  e.  w
) )
9897rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  w
)
9995, 98sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  w )
100 elun2 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  n )  e.  w  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
102101adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
103 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
104103anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
105 elfzuzb 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
106104, 105bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  n  e.  ( 1 ... j
) )
107 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s )
108 funimass4 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  e.  U. s ) )
10940, 45, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
110109ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
111107, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s )
112111r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  U. s )
113 elun1 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  n )  e.  U. s  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
115106, 114sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
116115anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
117 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  j  e.  NN )
118117ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
j  e.  NN )
119 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
120 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
121 uztric 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
122119, 120, 121syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
123118, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
124102, 116, 123mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
125124ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
126 fnfvrnss 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
12793, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
128 elun2 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  w  ->  A  e.  ( U. s  u.  w ) )
129128ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w
) )
130129ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w )
)
131130snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { A }  C_  ( U. s  u.  w
) )
132127, 131unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  ( U. s  u.  w
) )
133 uniun 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  U. { w } )
134 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
135134unisn 3859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. {
w }  =  w
136135uneq2i 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. s  u.  U. { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
137133, 136eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
138132, 137syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. ( s  u.  {
w } ) )
139 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  U. v  =  U. ( s  u.  {
w } ) )
140139sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v  <->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) ) )
141140rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
14290, 138, 141syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
143142expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  s  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
144143rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  ( E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
14571, 144mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
146145anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w ) )  /\  ( j  e.  NN  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
147146expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v ) )
148147rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
14924, 148mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
150149expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  w  e.  u )  ->  ( A  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) )
151150rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  ( E. w  e.  u  A  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v ) )
15213, 151mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
153152expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
154153ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) )
1556snssd 3776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { A }  C_  X )
15632, 155unssd 3364 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  X )
157156, 62sseqtrd 3227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J )
15864cmpsub 17143 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J
)  ->  ( ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
15960, 157, 158syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( ran 
F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
160154, 159mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  1stckgen  17265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-lm 16975  df-cmp 17130
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