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Theorem 1stcrest 17195
Description: A subspace of a first-countable space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrest  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )

Proof of Theorem 1stcrest
Dummy variables  t 
a  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 17185 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 16907 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
54restuni2 16914 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
61, 5sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
76eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  U. J )  <-> 
x  e.  U. ( Jt  A ) ) )
87biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )
9 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  1stc )
10 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J
1110sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  U. J )  ->  x  e.  U. J )
1241stcclb 17186 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  U. J )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om 
/\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )
139, 11, 12syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) ) ) )
14 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  1stc )
15 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ~P J  -> 
t  C_  J )
1615ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  C_  J )
17 ssrest 16923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  t  C_  J )  ->  (
tt 
A )  C_  ( Jt  A ) )
1814, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
19 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2019elpw2 4191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  <->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
2118, 20sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  e.  ~P ( Jt  A ) )
22 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
23 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A  e.  V )
24 restval 13347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( tt  A )  =  ran  ( v  e.  t 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
2522, 23, 24sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  =  ran  (
v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) ) )
26 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
27 1stcrestlem 17194 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2925, 28eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  ~<_  om )
301ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
31 elrest 13348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
3230, 23, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
33 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  ->  E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) ) )
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
3534a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  A
) )
3635ancld 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) ) )
37 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
3836, 37syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  i^i  A ) ) )
39 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y 
C_  a  ->  (
y  i^i  A )  C_  ( a  i^i  A
) )
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( y  C_  a  ->  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) )
4138, 40anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
4241reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  y  e. 
_V
4443inex1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  y  e.  t )  ->  ( y  i^i  A
)  e.  _V )
46 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  A  e.  V )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  A  e.  V )
48 elrest 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
4922, 47, 48sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
50 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( y  i^i  A
) ) )
51 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( a  i^i  A )  <->  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) )
5250, 51anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) )  <-> 
( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i 
A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  w  =  ( y  i^i  A ) )  -> 
( ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5445, 49, 53rexxfr2d 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5542, 54sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
5655expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
x  e.  A  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5756com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  ( E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
)  ->  ( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5857imim2d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  ->  (
x  e.  a  -> 
( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) ) )
5958imp4b 573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( ( x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
60 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a  i^i  A
) ) )
61 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a  i^i 
A )  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) )
6260, 61syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) ) )
63 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  (
a  i^i  A )
) )
6463anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
6564rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  ( E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
6662, 65imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( (
x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
6759, 66syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6867expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6968rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7033, 69syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7170exp3a 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  -> 
( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
7271impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
)  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7372adantrrl 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7432, 73sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7574ralrimiv 2638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
76 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ( tt  A )  ~<_  om )
)
77 rexeq 2750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
7877imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7978ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8076, 79anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8180rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  /\  (
( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8221, 29, 75, 81syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8382expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( ( t  ~<_  om 
/\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8483rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  ( E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om 
/\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8513, 84mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
868, 85syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8786ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
88 eqid 2296 . . 3  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
8988is1stc2 17184 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  1stc  <->  (
( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
903, 87, 89sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672   ran crn 4706  (class class class)co 5874    ~<_ cdom 6877   ↾t crest 13341   Topctop 16647   1stcc1stc 17179
This theorem is referenced by:  lly1stc  17238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-card 7588  df-acn 7591  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-1stc 17181
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