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Theorem 1stcrest 17430
Description: A subspace of a first-countable space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrest  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )

Proof of Theorem 1stcrest
Dummy variables  t 
a  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 17420 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 17139 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
54restuni2 17146 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
61, 5sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
76eleq2d 2447 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  U. J )  <-> 
x  e.  U. ( Jt  A ) ) )
87biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )
9 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  1stc )
10 inss2 3498 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J
1110sseli 3280 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  U. J )  ->  x  e.  U. J )
1241stcclb 17421 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  U. J )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om 
/\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )
139, 11, 12syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) ) ) )
14 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  1stc )
15 elpwi 3743 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ~P J  -> 
t  C_  J )
1615ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  C_  J )
17 ssrest 17155 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  t  C_  J )  ->  (
tt 
A )  C_  ( Jt  A ) )
1814, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
19 ovex 6038 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2019elpw2 4298 . . . . . . 7  |-  ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  <->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
2118, 20sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  e.  ~P ( Jt  A ) )
22 vex 2895 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
23 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A  e.  V )
24 restval 13574 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( tt  A )  =  ran  ( v  e.  t 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
2522, 23, 24sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  =  ran  (
v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) ) )
26 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
27 1stcrestlem 17429 . . . . . . . 8  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2925, 28eqbrtrd 4166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  ~<_  om )
301ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
31 elrest 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
3230, 23, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
33 r19.29 2782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  ->  E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) ) )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
3534a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  A
) )
3635ancld 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) ) )
37 elin 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
3836, 37syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  i^i  A ) ) )
39 ssrin 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y 
C_  a  ->  (
y  i^i  A )  C_  ( a  i^i  A
) )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( y  C_  a  ->  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) )
4138, 40anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
4241reximdv 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
43 vex 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
4443inex1 4278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  y  e.  t )  ->  ( y  i^i  A
)  e.  _V )
46 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  A  e.  V )
47 elrest 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
4822, 46, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
49 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( y  i^i  A
) ) )
50 sseq1 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( a  i^i  A )  <->  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) )
5149, 50anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) )  <-> 
( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i 
A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  w  =  ( y  i^i  A ) )  -> 
( ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5345, 48, 52rexxfr2d 4673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5442, 53sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
5554expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
x  e.  A  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5655com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  ( E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
)  ->  ( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5756imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  ->  (
x  e.  a  -> 
( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) ) )
5857imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( ( x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
59 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a  i^i  A
) ) )
60 elin 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( a  i^i 
A )  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) )
6159, 60syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) ) )
62 sseq2 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  (
a  i^i  A )
) )
6362anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
6463rexbidv 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  ( E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
6561, 64imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( (
x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
6658, 65syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6766expimpd 587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6867rexlimdva 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6933, 68syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7069exp3a 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  -> 
( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
7170impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
)  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7271adantrrl 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7332, 72sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7473ralrimiv 2724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
75 breq1 4149 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ( tt  A )  ~<_  om )
)
76 rexeq 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
7776imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7877ralbidv 2662 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7975, 78anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8079rspcev 2988 . . . . . 6  |-  ( ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  /\  (
( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8121, 29, 74, 80syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8213, 81rexlimddv 2770 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
838, 82syldan 457 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8483ralrimiva 2725 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
85 eqid 2380 . . 3  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
8685is1stc2 17419 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  1stc  <->  (
( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
873, 84, 86sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   omcom 4778   ran crn 4812  (class class class)co 6013    ~<_ cdom 7036   ↾t crest 13568   Topctop 16874   1stcc1stc 17414
This theorem is referenced by:  lly1stc  17473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-fin 7042  df-fi 7344  df-card 7752  df-acn 7755  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-1stc 17416
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