Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stfcl Unicode version

Theorem 1stfcl 13987
 Description: The first projection functor is a functor onto the left argument. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stfcl.t c
1stfcl.c
1stfcl.d
1stfcl.p F
Assertion
Ref Expression
1stfcl

Proof of Theorem 1stfcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stfcl.t . . . 4 c
2 eqid 2296 . . . . 5
3 eqid 2296 . . . . 5
41, 2, 3xpcbas 13968 . . . 4
5 eqid 2296 . . . 4
6 1stfcl.c . . . 4
7 1stfcl.d . . . 4
8 1stfcl.p . . . 4 F
91, 4, 5, 6, 7, 81stfval 13981 . . 3
10 fo1st 6155 . . . . . . . 8
11 fofun 5468 . . . . . . . 8
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7
13 fvex 5555 . . . . . . . 8
14 fvex 5555 . . . . . . . 8
1513, 14xpex 4817 . . . . . . 7
16 resfunexg 5753 . . . . . . 7
1712, 15, 16mp2an 653 . . . . . 6
1815, 15mpt2ex 6214 . . . . . 6
1917, 18op2ndd 6147 . . . . 5
209, 19syl 15 . . . 4
2120opeq2d 3819 . . 3
229, 21eqtr4d 2331 . 2
23 eqid 2296 . . . 4
24 eqid 2296 . . . 4
25 eqid 2296 . . . 4
26 eqid 2296 . . . 4 comp comp
27 eqid 2296 . . . 4 comp comp
281, 6, 7xpccat 13980 . . . 4
29 f1stres 6157 . . . . 5
3029a1i 10 . . . 4
31 ovex 5899 . . . . . . . 8
32 resfunexg 5753 . . . . . . . 8
3312, 31, 32mp2an 653 . . . . . . 7
3433rgen2w 2624 . . . . . 6
35 eqid 2296 . . . . . . 7
3635fnmpt2 6208 . . . . . 6
3734, 36ax-mp 8 . . . . 5
3820fneq1d 5351 . . . . 5
3937, 38mpbiri 224 . . . 4
40 f1stres 6157 . . . . . 6
416adantr 451 . . . . . . . . 9
427adantr 451 . . . . . . . . 9
43 simprl 732 . . . . . . . . 9
44 simprr 733 . . . . . . . . 9
451, 4, 5, 41, 42, 8, 43, 441stf2 13983 . . . . . . . 8
46 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
471, 4, 23, 46, 5, 43, 44xpchom 13970 . . . . . . . . 9
4847reseq2d 4971 . . . . . . . 8
4945, 48eqtrd 2328 . . . . . . 7
5049feq1d 5395 . . . . . 6
5140, 50mpbiri 224 . . . . 5
52 fvres 5558 . . . . . . . 8
5352ad2antrl 708 . . . . . . 7
54 fvres 5558 . . . . . . . 8
5554ad2antll 709 . . . . . . 7
5653, 55oveq12d 5892 . . . . . 6
5747, 56feq23d 5402 . . . . 5
5851, 57mpbird 223 . . . 4
5928adantr 451 . . . . . . . 8
60 simpr 447 . . . . . . . 8
614, 5, 24, 59, 60catidcl 13600 . . . . . . 7
62 fvres 5558 . . . . . . 7
6361, 62syl 15 . . . . . 6
64 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . 10
6564adantl 452 . . . . . . . . 9
6665fveq2d 5545 . . . . . . . 8
676adantr 451 . . . . . . . . 9
687adantr 451 . . . . . . . . 9
69 eqid 2296 . . . . . . . . 9
70 xp1st 6165 . . . . . . . . . 10
7170adantl 452 . . . . . . . . 9
72 xp2nd 6166 . . . . . . . . . 10
7372adantl 452 . . . . . . . . 9
741, 67, 68, 2, 3, 25, 69, 24, 71, 73xpcid 13979 . . . . . . . 8
7566, 74eqtrd 2328 . . . . . . 7
76 fvex 5555 . . . . . . . 8
77 fvex 5555 . . . . . . . 8
7876, 77op1std 6146 . . . . . . 7
7975, 78syl 15 . . . . . 6
80 eqidd 2297 . . . . . 6
8163, 79, 803eqtrd 2332 . . . . 5
821, 4, 5, 67, 68, 8, 60, 601stf2 13983 . . . . . 6
8382fveq1d 5543 . . . . 5
8452adantl 452 . . . . . 6
8584fveq2d 5545 . . . . 5
8681, 83, 853eqtr4d 2338 . . . 4
87283ad2ant1 976 . . . . . . . 8
88 simp21 988 . . . . . . . 8
89 simp22 989 . . . . . . . 8
90 simp23 990 . . . . . . . 8
91 simp3l 983 . . . . . . . 8
92 simp3r 984 . . . . . . . 8
934, 5, 26, 87, 88, 89, 90, 91, 92catcocl 13603 . . . . . . 7 comp
94 fvres 5558 . . . . . . 7 comp comp comp
9593, 94syl 15 . . . . . 6 comp comp
961, 4, 5, 26, 88, 89, 90, 91, 92, 27xpcco1st 13974 . . . . . 6 comp comp
9795, 96eqtrd 2328 . . . . 5 comp comp
9863ad2ant1 976 . . . . . . 7
9973ad2ant1 976 . . . . . . 7
1001, 4, 5, 98, 99, 8, 88, 901stf2 13983 . . . . . 6
101100fveq1d 5543 . . . . 5 comp comp
10288, 52syl 15 . . . . . . . 8
10389, 54syl 15 . . . . . . . 8
104102, 103opeq12d 3820 . . . . . . 7
105 fvres 5558 . . . . . . . 8
10690, 105syl 15 . . . . . . 7
107104, 106oveq12d 5892 . . . . . 6 comp comp
1081, 4, 5, 98, 99, 8, 89, 901stf2 13983 . . . . . . . 8
109108fveq1d 5543 . . . . . . 7
110 fvres 5558 . . . . . . . 8
11192, 110syl 15 . . . . . . 7
112109, 111eqtrd 2328 . . . . . 6
1131, 4, 5, 98, 99, 8, 88, 891stf2 13983 . . . . . . . 8
114113fveq1d 5543 . . . . . . 7
115 fvres 5558 . . . . . . . 8
11691, 115syl 15 . . . . . . 7
117114, 116eqtrd 2328 . . . . . 6
118107, 112, 117oveq123d 5895 . . . . 5 comp comp
11997, 101, 1183eqtr4d 2338 . . . 4 comp comp
1204, 2, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 6, 30, 39, 58, 86, 119isfuncd 13755 . . 3
121 df-br 4040 . . 3
122120, 121sylib 188 . 2
12322, 122eqeltrd 2370 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703   cres 4707   wfun 5265   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  cbs 13164   chom 13235  compcco 13236  ccat 13582  ccid 13583   cfunc 13744   c cxpc 13958   F c1stf 13959 This theorem is referenced by:  prf1st  13994  1st2ndprf  13996  uncfcl  14025  uncf1  14026  uncf2  14027  diagcl  14031  diag11  14033  diag12  14034  diag2  14035  yonedalem1  14062  yonedalem21  14063  yonedalem22  14068 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-func 13748  df-xpc 13962  df-1stf 13963
 Copyright terms: Public domain W3C validator