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Theorem 1stmbfm 24397
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
1stmbfm  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6300 . . . 4  |-  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S
2 1stmbfm.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 24336 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
71, 6mpbii 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
)
8 unielsiga 24300 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
92, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
10 sxsiga 24334 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 24300 . . . . 5  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 6960 . . . 4  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
159, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S ) )
167, 15mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 24296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
182, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
19 sigasspw 24288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  S  C_  ~P U. S )
20 pwssb 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ~P U. S  <->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2120biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ~P U. S  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2218, 19, 213syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2322r19.21bi 2740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_ 
U. S )
24 xpss1 4917 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  U. S  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3283 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  ->  z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) ) )
28 ffn 5524 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 1st `  z ) )
3231eleq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp2nd 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  U. T
)
35 elxp6 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
37 an32 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3835, 36, 373bitr2i 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3938baib 872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
4033, 34, 39syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( a  X.  U. T
)  <->  ( 1st `  z
)  e.  a ) )
4132, 40bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4241pm5.32i 619 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4330, 42bitri 241 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4427, 43syl6rbbr 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( a  X.  U. T
) ) )
4544eqrdv 2378 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( a  X.  U. T ) )
462adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
473adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
48 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
49 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
50 issgon 24295 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <-> 
( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T ) )
5150biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T
)  ->  T  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
523, 49, 51sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
53 baselsiga 24287 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  U. T  e.  T
)
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
5554adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  U. T  e.  T )
56 elsx 24337 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )  -> 
( a  X.  U. T )  e.  ( S ×s  T ) )
5746, 47, 48, 55, 56syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  e.  ( S ×s  T ) )
5845, 57eqeltrd 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5958ralrimiva 2725 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6011, 2ismbfm 24389 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S )  <-> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6116, 59, 60mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   <.cop 3753   U.cuni 3950    X. cxp 4809   `'ccnv 4810   ran crn 4812    |` cres 4813   "cima 4814    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1stc1st 6279   2ndc2nd 6280    ^m cmap 6947  sigAlgebracsiga 24279   ×s csx 24331  MblFnMcmbfm 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-map 6949  df-siga 24280  df-sigagen 24311  df-sx 24332  df-mbfm 24388
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