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Theorem 1stmbfm 23580
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
1stmbfm  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  (MblFnM `  <. ( S ×s  T ) ,  S >. )
)

Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6157 . . . . 5  |-  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S
2 1stmbfm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 23539 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
71, 6mpbii 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
)
8 unielsiga 23504 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
92, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
10 sxsiga 23537 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 23504 . . . . . 6  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 6801 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
159, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S ) )
167, 15mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 23500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
182, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
19 sigasspw 23492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  S  C_  ~P U. S )
20 pwssb 4004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ~P U. S  <->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2120biimpi 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ~P U. S  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2218, 19, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2322r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_ 
U. S )
24 xpss1 4811 . . . . . . . . . 10  |-  ( a 
C_  U. S  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  ->  z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) ) )
28 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 1st `  z ) )
3231eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  U. T
)
35 elxp6 6167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
36 anass 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
37 an32 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3835, 36, 373bitr2i 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3938baib 871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
4033, 34, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( a  X.  U. T
)  <->  ( 1st `  z
)  e.  a ) )
4132, 40bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4241pm5.32i 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4330, 42bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4427, 43syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( a  X.  U. T
) ) )
4544eqrdv 2294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( a  X.  U. T ) )
462adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
473adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4846, 47jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra ) )
49 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. T
51 issgon 23499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <-> 
( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T ) )
5251biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T
)  ->  T  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
533, 50, 52sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
54 baselsiga 23491 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  U. T  e.  T
)
5553, 54syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
5655adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  U. T  e.  T )
5749, 56jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )
58 elsx 23540 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )  -> 
( a  X.  U. T )  e.  ( S ×s  T ) )
5948, 57, 58syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  e.  ( S ×s  T ) )
6045, 59eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6160ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6216, 61jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) )
6311, 2ismbfm 23572 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  (MblFnM `  <. ( S ×s  T ) ,  S >. )  <->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6462, 63mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  (MblFnM `  <. ( S ×s  T ) ,  S >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   <.cop 3656   U.cuni 3843    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137    ^m cmap 6788  sigAlgebracsiga 23483   ×s csx 23534  MblFnMcmbfm 23570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-siga 23484  df-sigagen 23515  df-sx 23535  df-mbfm 23571
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