Theorem 1stval 4019

Description: The value of the function that extracts the first member of an ordered pair.

Assertion

Ref	Expression
1stval	|- (1st` A) = U.dom { A}

Proof of Theorem 1stval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 2718	. . . . 5 |- {A} e. V
2		dmexg 3289	. . . . 5 |- ({A} e. V -> dom { A} e. V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- dom { A} e. V
4	3	uniex 2834	. . 3 |- U.dom { A} e. V
5		sneq 2388	. . . . . . 7 |- (x = A -> {x} = {A})
6	5	dmeqd 3270	. . . . . 6 |- (x = A -> dom { x} = dom { A})
7	6	unieqd 2480	. . . . 5 |- (x = A -> U.dom { x} = U.dom { A})
8	7	fvopabg 3724	. . . 4 |- ((A e. V /\ U.dom { A} e. V) -> ({<.x, y>. | y = U.dom { x}}` A) = U.dom { A})
9		df-1st 4017	. . . . 5 |- 1st = {<.x, y>. | y = U.dom { x}}
10	9	fveq1i 3664	. . . 4 |- (1st` A) = ({<.x, y>. | y = U.dom { x}}` A)
11	8, 10	syl5eq 1495	. . 3 |- ((A e. V /\ U.dom { A} e. V) -> (1st` A) = U.dom { A})
12	4, 11	mpan2 693	. 2 |- (A e. V -> (1st` A) = U.dom { A})
13		fvprc 3660	. . 3 |- (-. A e. V -> (1st` A) = (/))
14		snprc 2414	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
15	14	biimp 151	. . . . . . 7 |- (-. A e. V -> {A} = (/))
16	15	dmeqd 3270	. . . . . 6 |- (-. A e. V -> dom { A} = dom (/))
17		dm0 3280	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
18	16, 17	syl6eq 1499	. . . . 5 |- (-. A e. V -> dom { A} = (/))
19	18	unieqd 2480	. . . 4 |- (-. A e. V -> U.dom { A} = U.(/))
20		uni0 2493	. . . 4 |- U.(/) = (/)
21	19, 20	syl6eq 1499	. . 3 |- (-. A e. V -> U.dom { A} = (/))
22	13, 21	eqtr4d 1486	. 2 |- (-. A e. V -> (1st` A) = U.dom { A})
23	12, 22	pm2.61i 126	1 |- (1st` A) = U.dom { A}

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  (/)c0 2251  {csn 2380  U.cuni 2471  {copab 2634  dom cdm 3133  ` cfv 3145  1stc1st 4015

This theorem is referenced by:  1st0 4021  op1st 4023  1st2val 4033  elxp6 4040

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fv 3161  df-1st 4017

Copyright terms: Public domain