Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1to2vfriswmgra Structured version   Unicode version

Theorem 1to2vfriswmgra 28323
 Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgra FriendGrph
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 1to2vfriswmgra
StepHypRef Expression
1 1vwmgra 28320 . . . . 5
21a1d 23 . . . 4 FriendGrph
32expcom 425 . . 3 FriendGrph
4 breq1 4207 . . . . . . . . 9 FriendGrph FriendGrph
54adantr 452 . . . . . . . 8 FriendGrph FriendGrph
6 pm3.22 437 . . . . . . . . . . . 12
7 anass 631 . . . . . . . . . . . 12
86, 7sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
9 frgra2v 28316 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
1110adantl 453 . . . . . . . . 9 FriendGrph
1211pm2.21d 100 . . . . . . . 8 FriendGrph
135, 12sylbid 207 . . . . . . 7 FriendGrph
1413expcom 425 . . . . . 6 FriendGrph
1514ex 424 . . . . 5 FriendGrph
1615com23 74 . . . 4 FriendGrph
17 ianor 475 . . . . . . 7
18 prprc2 3907 . . . . . . . 8
19 nne 2602 . . . . . . . . 9
20 preq2 3876 . . . . . . . . . . 11
2120eqcoms 2438 . . . . . . . . . 10
22 dfsn2 3820 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
2419, 23sylbi 188 . . . . . . . 8
2518, 24jaoi 369 . . . . . . 7
2617, 25sylbi 188 . . . . . 6
2726eqeq2d 2446 . . . . 5
2827, 3syl6bi 220 . . . 4 FriendGrph
2916, 28pm2.61i 158 . . 3 FriendGrph
303, 29jaoi 369 . 2 FriendGrph
3130impcom 420 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  wreu 2699  cvv 2948   cdif 3309  csn 3806  cpr 3807   class class class wbr 4204   crn 4871   FriendGrph cfrgra 28305 This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgra  28324 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-usgra 21359  df-frgra 28306
 Copyright terms: Public domain W3C validator