MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Unicode version

Theorem 2503prm 13388
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 13375 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10171 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10073 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10329 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10172 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10175 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10330 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10170 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10330 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10037 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2389 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 10339 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2412 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6032 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10178 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10330 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10173 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10330 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10179 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2389 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10176 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10330 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2389 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2389 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10177 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2389 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6nn 10071 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
2928nncni 9944 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
30 ax-1cn 8983 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
31 6p1e7 10041 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3229, 30, 31addcomli 9192 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3326dec0h 10332 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3432, 33eqtri 2409 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3530mulid1i 9027 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3630addid2i 9188 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3735, 36oveq12i 6034 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
38 1p1e2 10028 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3937, 38eqtri 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
403nncni 9944 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4140mulid1i 9027 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4241oveq1i 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
43 8p7e15 10376 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4442, 43eqtri 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
452, 16, 9, 26, 27, 34, 2, 7, 2, 39, 44decmac 10355 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4622dec0h 10332 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
47 3cn 10006 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4847mulid2i 9028 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4947addid2i 9188 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5048, 49oveq12i 6034 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
51 3p3e6 10046 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5250, 51eqtri 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
53 4nn0 10174 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
54 8t3e24 10405 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
55 4cn 10008 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
56 6p4e10 10056 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5729, 55, 56addcomli 9192 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
586, 53, 22, 54, 11, 57decaddci2 10362 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
592, 16, 9, 22, 27, 46, 18, 9, 18, 52, 58decmac 10355 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
602, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 45, 59decma2c 10356 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
61 9nn 10074 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
6261nncni 9944 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6362mulid2i 9028 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6463oveq1i 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
65 9p7e16 10383 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6664, 65eqtri 2409 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
67 9t8e72 10417 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6862, 40, 67mulcomli 9032 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6920, 2, 16, 27, 6, 26, 66, 68decmul1c 10363 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
7017, 19, 20, 21, 6, 23, 60, 69decmul2c 10364 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
7110, 6deccl 10330 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7271nn0cni 10167 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
73 pncan 9245 . . . . 5  |-  ( (;;; 2 5 0 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 2 5 0 2 )
7472, 30, 73mp2an 654 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7570, 74eqtr4i 2412 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7615, 75eqtr4i 2412 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7710, 18deccl 10330 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
785, 77eqeltri 2459 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7978nn0cni 10167 . . . 4  |-  N  e.  CC
80 npcan 9248 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
8179, 30, 80mp2an 654 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
8281eqcomi 2393 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
83 1nn 9945 . 2  |-  1  e.  NN
84 2nn 10067 . 2  |-  2  e.  NN
8519, 20deccl 10330 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8685numexp1 13342 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8786oveq2i 6033 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8876, 87eqtr4i 2412 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
89 8lt10 10113 . . . 4  |-  8  <  10
90 1lt10 10120 . . . . 5  |-  1  <  10
9183, 18, 2, 90declti 10341 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
922, 19, 16, 20, 89, 91decltc 10338 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9392, 86breqtrri 4180 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9452503lem2 13386 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9552503lem3 13387 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
961, 4, 76, 82, 4, 83, 84, 88, 93, 94, 95pockthi 13204 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    - cmin 9225   2c2 9983   3c3 9984   4c4 9985   5c5 9986   6c6 9987   7c7 9988   8c8 9989   9c9 9990   10c10 9991   NN0cn0 10155  ;cdc 10316   ^cexp 11311   Primecprime 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-prm 13009  df-odz 13083  df-phi 13084  df-pc 13140
  Copyright terms: Public domain W3C validator