MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Unicode version

Theorem 2503prm 13449
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 13436 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10227 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10129 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10385 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10228 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10231 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10386 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10226 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10386 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10093 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2435 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 10395 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2458 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6083 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10234 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10386 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10229 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10386 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10235 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2435 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10232 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10386 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2435 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2435 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10233 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2435 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6nn 10127 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
2928nncni 10000 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
30 ax-1cn 9038 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
31 6p1e7 10097 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3229, 30, 31addcomli 9248 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3326dec0h 10388 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3432, 33eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3530mulid1i 9082 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3630addid2i 9244 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3735, 36oveq12i 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
38 1p1e2 10084 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3937, 38eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
403nncni 10000 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4140mulid1i 9082 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4241oveq1i 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
43 8p7e15 10432 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4442, 43eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
452, 16, 9, 26, 27, 34, 2, 7, 2, 39, 44decmac 10411 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4622dec0h 10388 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
47 3cn 10062 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4847mulid2i 9083 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4947addid2i 9244 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5048, 49oveq12i 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
51 3p3e6 10102 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5250, 51eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
53 4nn0 10230 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
54 8t3e24 10461 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
55 4cn 10064 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
56 6p4e10 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5729, 55, 56addcomli 9248 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
586, 53, 22, 54, 11, 57decaddci2 10418 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
592, 16, 9, 22, 27, 46, 18, 9, 18, 52, 58decmac 10411 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
602, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 45, 59decma2c 10412 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
61 9nn 10130 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
6261nncni 10000 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6362mulid2i 9083 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6463oveq1i 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
65 9p7e16 10439 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6664, 65eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
67 9t8e72 10473 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6862, 40, 67mulcomli 9087 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6920, 2, 16, 27, 6, 26, 66, 68decmul1c 10419 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
7017, 19, 20, 21, 6, 23, 60, 69decmul2c 10420 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
7110, 6deccl 10386 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7271nn0cni 10223 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
73 pncan 9301 . . . . 5  |-  ( (;;; 2 5 0 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 2 5 0 2 )
7472, 30, 73mp2an 654 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7570, 74eqtr4i 2458 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7615, 75eqtr4i 2458 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7710, 18deccl 10386 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
785, 77eqeltri 2505 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7978nn0cni 10223 . . . 4  |-  N  e.  CC
80 npcan 9304 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
8179, 30, 80mp2an 654 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
8281eqcomi 2439 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
83 1nn 10001 . 2  |-  1  e.  NN
84 2nn 10123 . 2  |-  2  e.  NN
8519, 20deccl 10386 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8685numexp1 13403 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8786oveq2i 6084 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8876, 87eqtr4i 2458 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
89 8lt10 10169 . . . 4  |-  8  <  10
90 1lt10 10176 . . . . 5  |-  1  <  10
9183, 18, 2, 90declti 10397 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
922, 19, 16, 20, 89, 91decltc 10394 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9392, 86breqtrri 4229 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9452503lem2 13447 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9552503lem3 13448 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
961, 4, 76, 82, 4, 83, 84, 88, 93, 94, 95pockthi 13265 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    < clt 9110    - cmin 9281   2c2 10039   3c3 10040   4c4 10041   5c5 10042   6c6 10043   7c7 10044   8c8 10045   9c9 10046   10c10 10047   NN0cn0 10211  ;cdc 10372   ^cexp 11372   Primecprime 13069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-odz 13144  df-phi 13145  df-pc 13201
  Copyright terms: Public domain W3C validator