Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atlt Structured version   Unicode version

Theorem 2atlt 30236
 Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atomslt.b
2atomslt.s
2atomslt.a
Assertion
Ref Expression
2atlt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 2atlt
StepHypRef Expression
1 2atomslt.b . . . 4
2 2atomslt.a . . . 4
31, 2atbase 30087 . . 3
4 eqid 2436 . . . 4
5 2atomslt.s . . . 4
6 eqid 2436 . . . 4
71, 4, 5, 6, 2hlrelat 30199 . . 3
83, 7syl3anl2 1233 . 2
9 simp3l 985 . . . . . . . 8
10 simp1l1 1050 . . . . . . . . 9
11 simp1l2 1051 . . . . . . . . 9
12 simp2 958 . . . . . . . . 9
13 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
145, 6, 2, 13atltcvr 30232 . . . . . . . . 9
1510, 11, 11, 12, 14syl13anc 1186 . . . . . . . 8
169, 15mpbid 202 . . . . . . 7
176, 13, 2atcvr1 30214 . . . . . . . 8
1810, 11, 12, 17syl3anc 1184 . . . . . . 7
1916, 18mpbird 224 . . . . . 6
2019necomd 2687 . . . . 5
215, 6, 2atlt 30234 . . . . . . . . 9
2210, 12, 11, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8
2320, 22mpbird 224 . . . . . . 7
24 hllat 30161 . . . . . . . . 9
2510, 24syl 16 . . . . . . . 8
2611, 3syl 16 . . . . . . . 8
271, 2atbase 30087 . . . . . . . . 9
28273ad2ant2 979 . . . . . . . 8
291, 6latjcom 14488 . . . . . . . 8
3025, 26, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . 7
3123, 30breqtrrd 4238 . . . . . 6
32 simp3r 986 . . . . . 6
33 hlpos 30163 . . . . . . . 8
3410, 33syl 16 . . . . . . 7
351, 6latjcl 14479 . . . . . . . 8
3625, 26, 28, 35syl3anc 1184 . . . . . . 7
37 simp1l3 1052 . . . . . . 7
381, 4, 5pltletr 14428 . . . . . . 7
3934, 28, 36, 37, 38syl13anc 1186 . . . . . 6
4031, 32, 39mp2and 661 . . . . 5
4120, 40jca 519 . . . 4
42413exp 1152 . . 3
4342reximdvai 2816 . 2
448, 43mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  cple 13536  cpo 14397  cplt 14398  cjn 14401  clat 14474   ccvr 30060  catm 30061  chlt 30148 This theorem is referenced by:  cdlemb  30591  lhpexle1  30805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149
 Copyright terms: Public domain W3C validator