Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atmat Unicode version

Theorem 2atmat 30372
 Description: The meet of two intersecting lines (expressed as joins of atoms) is an atom. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmat.l
2atmat.j
2atmat.m
2atmat.a
Assertion
Ref Expression
2atmat

Proof of Theorem 2atmat
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . . . . 6
2 hllat 30175 . . . . . 6
31, 2syl 15 . . . . 5
4 eqid 2296 . . . . . . 7
5 2atmat.j . . . . . . 7
6 2atmat.a . . . . . . 7
74, 5, 6hlatjcl 30178 . . . . . 6
873ad2ant1 976 . . . . 5
9 simp21 988 . . . . . 6
104, 6atbase 30101 . . . . . 6
119, 10syl 15 . . . . 5
12 simp22 989 . . . . . 6
134, 6atbase 30101 . . . . . 6
1412, 13syl 15 . . . . 5
154, 5latjass 14217 . . . . 5
163, 8, 11, 14, 15syl13anc 1184 . . . 4
17 simp33 993 . . . . 5
184, 5latjcl 14172 . . . . . . 7
193, 8, 11, 18syl3anc 1182 . . . . . 6
20 2atmat.l . . . . . . 7
214, 20, 5latleeqj2 14186 . . . . . 6
223, 14, 19, 21syl3anc 1182 . . . . 5
2317, 22mpbid 201 . . . 4
2416, 23eqtr3d 2330 . . 3
25 simp23 990 . . . 4
26 simp32 992 . . . 4
27 simp12 986 . . . . 5
28 simp13 987 . . . . 5
29 eqid 2296 . . . . . 6
3020, 5, 6, 29islpln2a 30359 . . . . 5
311, 27, 28, 9, 30syl13anc 1184 . . . 4
3225, 26, 31mpbir2and 888 . . 3
3324, 32eqeltrd 2370 . 2
34 eqid 2296 . . . . 5
355, 6, 34llni2 30323 . . . 4
361, 27, 28, 25, 35syl31anc 1185 . . 3
37 simp31 991 . . . 4
385, 6, 34llni2 30323 . . . 4
391, 9, 12, 37, 38syl31anc 1185 . . 3
40 2atmat.m . . . 4
415, 40, 6, 34, 292llnmj 30371 . . 3
421, 36, 39, 41syl3anc 1182 . 2
4333, 42mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  cple 13231  cjn 14094  cmee 14095  clat 14167  catm 30075  chlt 30162  clln 30302  clpl 30303 This theorem is referenced by:  4atexlemc  30880 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310
 Copyright terms: Public domain W3C validator