Theorem 2basgent 7620

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies.

Assertion

Ref	Expression
2basgent	|- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` B) = (topGen` C))

Proof of Theorem 2basgent

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgsst 7615	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))
2	1	3expa 832	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))
3	2	adantrr 395	. 2 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))
4		tgsst 7615	. . . . . . 7 |- ((C e. Bases /\ (topGen` B) e. Bases /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
5		tgclt 7603	. . . . . . . 8 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Top)
6		topbast 7606	. . . . . . . 8 |- ((topGen` B) e. Top -> (topGen` B) e. Bases)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Bases)
8	4, 7	syl3an2 859	. . . . . 6 |- ((C e. Bases /\ B e. Bases /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
9	8	3com12 836	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
10	9	3expa 832	. . . 4 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ C (_ (topGen` B)) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
11	10	adantrl 394	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` C) (_ (topGen` (topGen` B)))
12		tgidmt 7611	. . . 4 |- (B e. Bases -> (topGen` (topGen` B)) = (topGen` B))
13	12	ad2antrr 404	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` (topGen` B)) = (topGen` B))
14	11, 13	sseqtrd 2095	. 2 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` C) (_ (topGen` B))
15	3, 14	eqssd 2077	1 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B (_ C /\ C (_ (topGen` B))) -> (topGen` B) = (topGen` C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2045  ` cfv 3179  Topctop 7567  Basesctb 7569  topGenctg 7570

This theorem is referenced by:  tgioo 7898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574

Copyright terms: Public domain