MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ebits Unicode version

Theorem 2ebits 12942
Description: The bits of a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2ebits  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  ( 2 ^ N
) )  =  { N } )

Proof of Theorem 2ebits
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10117 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  NN )
3 id 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
42, 3nnexpcld 11527 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
54nncnd 10000 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
6 oveq2 6075 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ N ) )
76sumsn 12517 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2 ^ N
)  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k )  =  ( 2 ^ N
) )
85, 7mpdan 650 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  { N }  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ N ) )
98fveq2d 5718 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k ) )  =  (bits `  ( 2 ^ N ) ) )
10 snssi 3929 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { N }  C_  NN0 )
11 snfi 7173 . . . . 5  |-  { N }  e.  Fin
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { N }  e.  Fin )
13 elfpw 7394 . . . 4  |-  ( { N }  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( { N }  C_ 
NN0  /\  { N }  e.  Fin )
)
1410, 12, 13sylanbrc 646 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { N }  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
15 bitsinv2 12938 . . 3  |-  ( { N }  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  (bits `  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k ) )  =  { N } )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k ) )  =  { N } )
179, 16eqtr3d 2464 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  ( 2 ^ N
) )  =  { N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3306    C_ wss 3307   ~Pcpw 3786   {csn 3801   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   Fincfn 7095   CCcc 8972   NNcn 9984   2c2 10033   NN0cn0 10205   ^cexp 11365   sum_csu 12462  bitscbits 12914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-disj 4170  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-rp 10597  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-hash 11602  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-clim 12265  df-sum 12463  df-dvds 12836  df-bits 12917
  Copyright terms: Public domain W3C validator