MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ebits Structured version   Unicode version

Theorem 2ebits 12997
Description: The bits of a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2ebits  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  ( 2 ^ N
) )  =  { N } )

Proof of Theorem 2ebits
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10171 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  NN )
3 id 21 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
42, 3nnexpcld 11582 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
54nncnd 10054 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
6 oveq2 6125 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ N ) )
76sumsn 12572 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2 ^ N
)  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k )  =  ( 2 ^ N
) )
85, 7mpdan 651 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  { N }  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ N ) )
98fveq2d 5767 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k ) )  =  (bits `  ( 2 ^ N ) ) )
10 snssi 3971 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { N }  C_  NN0 )
11 snfi 7223 . . . . 5  |-  { N }  e.  Fin
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { N }  e.  Fin )
13 elfpw 7444 . . . 4  |-  ( { N }  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) 
<->  ( { N }  C_ 
NN0  /\  { N }  e.  Fin )
)
1410, 12, 13sylanbrc 647 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { N }  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
15 bitsinv2 12993 . . 3  |-  ( { N }  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  (bits `  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k ) )  =  { N } )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  sum_ k  e.  { N }  ( 2 ^ k ) )  =  { N } )
179, 16eqtr3d 2477 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  ( 2 ^ N
) )  =  { N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1654    e. wcel 1728    i^i cin 3308    C_ wss 3309   ~Pcpw 3828   {csn 3843   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Fincfn 7145   CCcc 9026   NNcn 10038   2c2 10087   NN0cn0 10259   ^cexp 11420   sum_csu 12517  bitscbits 12969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-disj 4214  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-mod 11289  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-dvds 12891  df-bits 12972
  Copyright terms: Public domain W3C validator