Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2efiatan Structured version   Unicode version

Theorem 2efiatan 20748
 Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2efiatan arctan arctan

Proof of Theorem 2efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 20714 . . . . 5 arctan arctan
21oveq2d 6089 . . . 4 arctan arctan
3 2cn 10060 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5 arctan
5 ax-icn 9039 . . . . . 6
65a1i 11 . . . . 5 arctan
7 atancl 20711 . . . . 5 arctan arctan
84, 6, 7mulassd 9101 . . . 4 arctan arctan arctan
9 halfcl 10183 . . . . . . . . . 10
105, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9
113, 5, 10mulassi 9089 . . . . . . . 8
123, 5, 10mul12i 9251 . . . . . . . 8
13 2ne0 10073 . . . . . . . . . . 11
145, 3, 13divcan2i 9747 . . . . . . . . . 10
1514oveq2i 6084 . . . . . . . . 9
16 ixi 9641 . . . . . . . . 9
1715, 16eqtri 2455 . . . . . . . 8
1811, 12, 173eqtri 2459 . . . . . . 7
1918oveq1i 6083 . . . . . 6
20 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . 10
21 atandm2 20707 . . . . . . . . . . . 12 arctan
2221simp1bi 972 . . . . . . . . . . 11 arctan
23 mulcl 9064 . . . . . . . . . . 11
245, 22, 23sylancr 645 . . . . . . . . . 10 arctan
25 subcl 9295 . . . . . . . . . 10
2620, 24, 25sylancr 645 . . . . . . . . 9 arctan
2721simp2bi 973 . . . . . . . . 9 arctan
2826, 27logcld 20458 . . . . . . . 8 arctan
29 addcl 9062 . . . . . . . . . 10
3020, 24, 29sylancr 645 . . . . . . . . 9 arctan
3121simp3bi 974 . . . . . . . . 9 arctan
3230, 31logcld 20458 . . . . . . . 8 arctan
3328, 32subcld 9401 . . . . . . 7 arctan
3433mulm1d 9475 . . . . . 6 arctan
3519, 34syl5eq 2479 . . . . 5 arctan
363, 5mulcli 9085 . . . . . . 7
3736a1i 11 . . . . . 6 arctan
3810a1i 11 . . . . . 6 arctan
3937, 38, 33mulassd 9101 . . . . 5 arctan
4028, 32negsubdi2d 9417 . . . . 5 arctan
4135, 39, 403eqtr3d 2475 . . . 4 arctan
422, 8, 413eqtr3d 2475 . . 3 arctan arctan
4342fveq2d 5724 . 2 arctan arctan
44 efsub 12691 . . 3
4532, 28, 44syl2anc 643 . 2 arctan
46 eflog 20464 . . . . 5
4730, 31, 46syl2anc 643 . . . 4 arctan
48 eflog 20464 . . . . 5
4926, 27, 48syl2anc 643 . . . 4 arctan
5047, 49oveq12d 6091 . . 3 arctan
51 negsub 9339 . . . . . . . 8
525, 22, 51sylancr 645 . . . . . . 7 arctan
536mulid1d 9095 . . . . . . . 8 arctan
5416oveq1i 6083 . . . . . . . . 9
556, 6, 22mulassd 9101 . . . . . . . . 9 arctan
5622mulm1d 9475 . . . . . . . . 9 arctan
5754, 55, 563eqtr3a 2491 . . . . . . . 8 arctan
5853, 57oveq12d 6091 . . . . . . 7 arctan
596, 22, 6pnpcan2d 9439 . . . . . . 7 arctan
6052, 58, 593eqtr4d 2477 . . . . . 6 arctan
6120a1i 11 . . . . . . 7 arctan
626, 61, 24adddid 9102 . . . . . 6 arctan
6362timesd 10200 . . . . . . 7 arctan
6463oveq1d 6088 . . . . . 6 arctan
6560, 62, 643eqtr4d 2477 . . . . 5 arctan
666, 61, 24subdid 9479 . . . . . 6 arctan
6753, 57oveq12d 6091 . . . . . . 7 arctan
68 subneg 9340 . . . . . . . 8
695, 22, 68sylancr 645 . . . . . . 7 arctan
7067, 69eqtrd 2467 . . . . . 6 arctan
71 addcom 9242 . . . . . . 7
725, 22, 71sylancr 645 . . . . . 6 arctan
7366, 70, 723eqtrd 2471 . . . . 5 arctan
7465, 73oveq12d 6091 . . . 4 arctan
75 ine0 9459 . . . . . 6
7675a1i 11 . . . . 5 arctan
7730, 26, 6, 27, 76divcan5d 9806 . . . 4 arctan
78 addcl 9062 . . . . . 6
7922, 5, 78sylancl 644 . . . . 5 arctan
80 subneg 9340 . . . . . . 7
8122, 5, 80sylancl 644 . . . . . 6 arctan
82 atandm 20706 . . . . . . . 8 arctan
8382simp2bi 973 . . . . . . 7 arctan
845negcli 9358 . . . . . . . 8
85 subeq0 9317 . . . . . . . . 9
8685necon3bid 2633 . . . . . . . 8
8722, 84, 86sylancl 644 . . . . . . 7 arctan
8883, 87mpbird 224 . . . . . 6 arctan
8981, 88eqnetrrd 2618 . . . . 5 arctan
9037, 79, 79, 89divsubdird 9819 . . . 4 arctan
9174, 77, 903eqtr3d 2475 . . 3 arctan
9279, 89dividd 9778 . . . 4 arctan
9392oveq2d 6089 . . 3 arctan
9450, 91, 933eqtrd 2471 . 2 arctan
9543, 45, 943eqtrd 2471 1 arctan arctan
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   cdm 4870  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cc0 8980  c1 8981  ci 8982   caddc 8983   cmul 8985   cmin 9281  cneg 9282   cdiv 9667  c2 10039  ce 12654  clog 20442  arctancatan 20694 This theorem is referenced by:  tanatan  20749 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-atan 20697
 Copyright terms: Public domain W3C validator