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Theorem 2eu3 2362
Description: Double existential uniqueness. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2eu3  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  ->  (
( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2eu3
StepHypRef Expression
1 nfmo1 2291 . . . . 5  |-  F/ y E* y ph
2119.31 1897 . . . 4  |-  ( A. y ( E* x ph  \/  E* y ph ) 
<->  ( A. y E* x ph  \/  E* y ph ) )
32albii 1575 . . 3  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  <->  A. x
( A. y E* x ph  \/  E* y ph ) )
4 nfmo1 2291 . . . . 5  |-  F/ x E* x ph
54nfal 1864 . . . 4  |-  F/ x A. y E* x ph
6519.32 1896 . . 3  |-  ( A. x ( A. y E* x ph  \/  E* y ph )  <->  ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph ) )
73, 6bitri 241 . 2  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  <->  ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph ) )
8 2eu1 2360 . . . . . . 7  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E! y E! x ph 
<->  ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph )
) )
98biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E! y E! x ph  ->  ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph ) ) )
10 ancom 438 . . . . . 6  |-  ( ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) )
119, 10syl6ib 218 . . . . 5  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E! y E! x ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1211adantld 454 . . . 4  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
13 2eu1 2360 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph 
<->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1413biimpd 199 . . . . 5  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1514adantrd 455 . . . 4  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1612, 15jaoi 369 . . 3  |-  ( ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph )  -> 
( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
17 2exeu 2357 . . . 4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
18 2exeu 2357 . . . . 5  |-  ( ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph )  ->  E! y E! x ph )
1918ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! y E! x ph )
2017, 19jca 519 . . 3  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  -> 
( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )
)
2116, 20impbid1 195 . 2  |-  ( ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph )  -> 
( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )
227, 21sylbi 188 1  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  ->  (
( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   E!weu 2280   E*wmo 2281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285
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