MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2eu4 Structured version   Unicode version

Theorem 2eu4 2371
Description: This theorem provides us with a definition of double existential uniqueness ("exactly one 
x and exactly one  y"). Naively one might think (incorrectly) that it could be defined by  E! x E! y ph. See 2eu1 2368 for a condition under which the naive definition holds and 2exeu 2365 for a one-way implication. See 2eu5 2372 and 2eu8 2375 for alternate definitions. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2eu4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2eu4
StepHypRef Expression
1 nfv 1631 . . . 4  |-  F/ z E. y ph
21eu3 2314 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z ) ) )
3 nfv 1631 . . . 4  |-  F/ w E. x ph
43eu3 2314 . . 3  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
52, 4anbi12i 680 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E. z A. x
( E. y ph  ->  x  =  z ) )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E. w A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) ) )
6 an4 799 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z ) )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E. w A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E. y E. x ph )  /\  ( E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) ) )
7 excom 1759 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
87anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. x E. y ph ) )
9 anidm 627 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. x E. y ph )  <->  E. x E. y ph )
108, 9bitri 242 . . 3  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  <->  E. x E. y ph )
11 19.26 1605 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
12 nfa1 1809 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x A. y (
ph  ->  y  =  w )
131219.3 1794 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x A. x A. y
( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) )
1413anbi2i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. x A. y
( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
15 jcab 835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1615albii 1576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  A. y ( (
ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
17 19.26 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( ph  ->  y  =  w ) ) )
1816, 17bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1918albii 1576 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( ph  ->  y  =  w ) ) )
20 19.26 1605 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y (
ph  ->  y  =  w ) ) )
2119, 20bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2214, 21bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. x A. y
( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
2311, 22bitr2i 243 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
24 19.26 1605 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. y A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y A. x (
ph  ->  y  =  w ) ) )
25 nfa1 1809 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y ( ph  ->  x  =  z )
262519.3 1794 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y A. y ( ph  ->  x  =  z )  <->  A. y ( ph  ->  x  =  z ) )
27 alcom 1755 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x A. y (
ph  ->  y  =  w ) )
2826, 27anbi12i 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2924, 28bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
3029albii 1576 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
3123, 30bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) ) )
32 19.23v 1918 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  <->  ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
33 19.23v 1918 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ph  ->  y  =  w )  <->  ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
3432, 33anbi12i 680 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x (
ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
35342albii 1577 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x A. y ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
36 nfe1 1750 . . . . . . . 8  |-  F/ y E. y ph
37 nfv 1631 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  =  z
3836, 37nfim 1835 . . . . . . 7  |-  F/ y ( E. y ph  ->  x  =  z )
39 nfe1 1750 . . . . . . . 8  |-  F/ x E. x ph
40 nfv 1631 . . . . . . . 8  |-  F/ x  y  =  w
4139, 40nfim 1835 . . . . . . 7  |-  F/ x
( E. x ph  ->  y  =  w )
4238, 41aaan 1910 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
4331, 35, 423bitri 264 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
44432exbii 1594 . . . 4  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
45 eeanv 1941 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
4644, 45bitr2i 243 . . 3  |-  ( ( E. z A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
4710, 46anbi12i 680 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  /\  ( E. z A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
485, 6, 473bitri 264 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551   E!weu 2288
This theorem is referenced by:  2eu5  2372  2eu6  2373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292
  Copyright terms: Public domain W3C validator