MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp16 13426
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 10240 . 2  |-  2  e.  NN0
2 8nn0 10246 . 2  |-  8  e.  NN0
32nn0cni 10235 . . 3  |-  8  e.  CC
4 2cn 10072 . . 3  |-  2  e.  CC
5 8t2e16 10472 . . 3  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
63, 4, 5mulcomli 9099 . 2  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
7 2exp8 13425 . 2  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
8 5nn0 10243 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
91, 8deccl 10398 . . . 4  |- ; 2 5  e.  NN0
10 6nn0 10244 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 10398 . . 3  |- ;; 2 5 6  e.  NN0
12 eqid 2438 . . 3  |- ;; 2 5 6  = ;; 2 5 6
13 1nn0 10239 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413, 8deccl 10398 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN0
15 3nn0 10241 . . . 4  |-  3  e.  NN0
1614, 15deccl 10398 . . 3  |- ;; 1 5 3  e.  NN0
17 eqid 2438 . . . 4  |- ; 2 5  = ; 2 5
18 eqid 2438 . . . 4  |- ;; 1 5 3  = ;; 1 5 3
1913, 1deccl 10398 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
2019, 2deccl 10398 . . . 4  |- ;; 1 2 8  e.  NN0
21 4nn0 10242 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
2213, 21deccl 10398 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN0
23 eqid 2438 . . . . . 6  |- ; 1 5  = ; 1 5
24 eqid 2438 . . . . . 6  |- ;; 1 2 8  = ;; 1 2 8
25 0nn0 10238 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
2613dec0h 10400 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
27 eqid 2438 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  = ; 1 2
28 ax-1cn 9050 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2928addid2i 9256 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
30 2p1e3 10105 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  1 )  =  3
314, 28, 30addcomli 9260 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3225, 13, 13, 1, 26, 27, 29, 31decadd 10425 . . . . . . 7  |-  ( 1  + ; 1 2 )  = ; 1
3
33 3p1e4 10106 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3413, 15, 13, 32, 33decaddi 10428 . . . . . 6  |-  ( ( 1  + ; 1 2 )  +  1 )  = ; 1 4
35 5nn 10138 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
3635nncni 10012 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
37 8p5e13 10442 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
383, 36, 37addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 5  +  8 )  = ; 1
3
3913, 8, 19, 2, 23, 24, 34, 15, 38decaddc 10426 . . . . 5  |-  (; 1 5  + ;; 1 2 8 )  = ;; 1 4 3
40 eqid 2438 . . . . . . 7  |- ; 1 4  = ; 1 4
41 4p1e5 10107 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  1 )  =  5
4213, 21, 13, 40, 41decaddi 10428 . . . . . 6  |-  (; 1 4  +  1 )  = ; 1 5
43 2t2e4 10129 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
44 1p1e2 10096 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4543, 44oveq12i 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 4  +  2 )
46 4p2e6 10115 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
4745, 46eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  6
48 5t2e10 10133 . . . . . . . 8  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
49 dec10 10414 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
5048, 49eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
5136addid2i 9256 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  5 )  =  5
5213, 25, 8, 50, 51decaddi 10428 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  5 )  = ; 1
5
531, 8, 13, 8, 17, 42, 1, 8, 13, 47, 52decmac 10423 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  2 )  +  (; 1 4  +  1 ) )  = ; 6 5
54 6t2e12 10461 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
55 3cn 10074 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
56 3p2e5 10113 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
5755, 4, 56addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
5813, 1, 15, 54, 57decaddi 10428 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
5
599, 10, 22, 15, 12, 39, 1, 8, 13, 53, 58decmac 10423 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  2 )  +  (; 1
5  + ;; 1 2 8 ) )  = ;; 6 5 5
6015dec0h 10400 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6155addid2i 9256 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  3 )  =  3
6261, 60eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
634addid2i 9256 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6463oveq2i 6094 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )
6536, 4, 48mulcomli 9099 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
6665, 49eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6713, 25, 1, 66, 63decaddi 10428 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6864, 67eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
2
69 5t5e25 10460 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
70 5p3e8 10119 . . . . . . 7  |-  ( 5  +  3 )  =  8
711, 8, 15, 69, 70decaddi 10428 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  3 )  = ; 2
8
721, 8, 25, 15, 17, 62, 8, 2, 1, 68, 71decmac 10423 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  5 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ;; 1 2 8
73 6t5e30 10464 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  5 )  = ; 3
0
7415, 25, 15, 73, 61decaddi 10428 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  5 )  +  3 )  = ; 3
3
759, 10, 25, 15, 12, 60, 8, 15, 15, 72, 74decmac 10423 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  5 )  +  3 )  = ;;; 1 2 8 3
761, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 59, 75decma2c 10424 . . 3  |-  ( (;; 2 5 6  x. ; 2
5 )  + ;; 1 5 3 )  = ;;; 6 5 5 3
7761oveq2i 6094 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )
78 6nn 10139 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
7978nncni 10012 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
8079, 4, 54mulcomli 9099 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
8113, 1, 15, 80, 57decaddi 10428 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )  = ; 1
5
8277, 81eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
5
8379, 36, 73mulcomli 9099 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  6 )  = ; 3
0
8415, 25, 15, 83, 61decaddi 10428 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  6 )  +  3 )  = ; 3
3
851, 8, 25, 15, 17, 60, 10, 15, 15, 82, 84decmac 10423 . . . 4  |-  ( (; 2
5  x.  6 )  +  3 )  = ;; 1 5 3
86 6t6e36 10465 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
8710, 9, 10, 12, 10, 15, 85, 86decmul1c 10431 . . 3  |-  (;; 2 5 6  x.  6 )  = ;;; 1 5 3 6
8811, 9, 10, 12, 10, 16, 76, 87decmul2c 10432 . 2  |-  (;; 2 5 6  x. ;; 2 5 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
891, 2, 6, 7, 88numexp2x 13417 1  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   5c5 10054   6c6 10055   8c8 10057   10c10 10059  ;cdc 10384   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  1259lem1  13452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator