MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp6 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp6 13422
Description: Two to the sixth power is 64. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp6  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4

Proof of Theorem 2exp6
StepHypRef Expression
1 2nn0 10238 . 2  |-  2  e.  NN0
2 5nn0 10241 . 2  |-  5  e.  NN0
3 5p1e6 10106 . 2  |-  ( 5  +  1 )  =  6
4 4nn0 10240 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
5 4p1e5 10105 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  =  5
6 2exp4 13421 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
76oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  2 )  =  (; 1 6  x.  2 )
81, 4, 5, 7numexpp1 13414 . . . 4  |-  ( 2 ^ 5 )  =  (; 1 6  x.  2 )
98oveq1i 6091 . . 3  |-  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  =  ( (; 1 6  x.  2 )  x.  2 )
10 1nn0 10237 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
11 6nn0 10242 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN0
1210, 11deccl 10396 . . . . . 6  |- ; 1 6  e.  NN0
1312nn0cni 10233 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  CC
14 2cn 10070 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1513, 14, 14mulassi 9099 . . . 4  |-  ( (; 1
6  x.  2 )  x.  2 )  =  (; 1 6  x.  (
2  x.  2 ) )
16 2t2e4 10127 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1716oveq2i 6092 . . . . 5  |-  (; 1 6  x.  (
2  x.  2 ) )  =  (; 1 6  x.  4 )
18 eqid 2436 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
194nn0cni 10233 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
2019mulid2i 9093 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
2120oveq1i 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  2 )  =  ( 4  +  2 )
22 4p2e6 10113 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
2321, 22eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  2 )  =  6
24 6t4e24 10461 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  4 )  = ; 2
4
254, 10, 11, 18, 4, 1, 23, 24decmul1c 10429 . . . . 5  |-  (; 1 6  x.  4 )  = ; 6 4
2617, 25eqtri 2456 . . . 4  |-  (; 1 6  x.  (
2  x.  2 ) )  = ; 6 4
2715, 26eqtri 2456 . . 3  |-  ( (; 1
6  x.  2 )  x.  2 )  = ; 6
4
289, 27eqtri 2456 . 2  |-  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  = ; 6
4
291, 2, 3, 28numexpp1 13414 1  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652  (class class class)co 6081   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   2c2 10049   4c4 10051   5c5 10052   6c6 10053  ;cdc 10382   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  4001lem1  13460  bclbnd  21064  bposlem8  21075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator