Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2idlcpbl Structured version   Unicode version

Theorem 2idlcpbl 16307
 Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlcpbl.x
2idlcpbl.r ~QG
2idlcpbl.i 2Ideal
2idlcpbl.t
Assertion
Ref Expression
2idlcpbl

Proof of Theorem 2idlcpbl
StepHypRef Expression
1 simpll 732 . . . 4
2 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 LIdeal LIdeal
3 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 oppr oppr
4 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 LIdealoppr LIdealoppr
5 2idlcpbl.i . . . . . . . . . . . . 13 2Ideal
62, 3, 4, 52idlval 16306 . . . . . . . . . . . 12 LIdeal LIdealoppr
76elin2 3533 . . . . . . . . . . 11 LIdeal LIdealoppr
87simplbi 448 . . . . . . . . . 10 LIdeal
98ad2antlr 709 . . . . . . . . 9 LIdeal
102lidlsubg 16288 . . . . . . . . 9 LIdeal SubGrp
111, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . . 8 SubGrp
12 2idlcpbl.x . . . . . . . . 9
13 2idlcpbl.r . . . . . . . . 9 ~QG
1412, 13eqger 14992 . . . . . . . 8 SubGrp
1511, 14syl 16 . . . . . . 7
16 simprl 734 . . . . . . 7
1715, 16ersym 6919 . . . . . 6
18 rngabl 15695 . . . . . . . 8
1918ad2antrr 708 . . . . . . 7
2012, 2lidlss 16282 . . . . . . . 8 LIdeal
219, 20syl 16 . . . . . . 7
22 eqid 2438 . . . . . . . 8
2312, 22, 13eqgabl 15456 . . . . . . 7
2419, 21, 23syl2anc 644 . . . . . 6
2517, 24mpbid 203 . . . . 5
2625simp2d 971 . . . 4
27 simprr 735 . . . . . 6
2812, 22, 13eqgabl 15456 . . . . . . 7
2919, 21, 28syl2anc 644 . . . . . 6
3027, 29mpbid 203 . . . . 5
3130simp1d 970 . . . 4
32 2idlcpbl.t . . . . 5
3312, 32rngcl 15679 . . . 4
341, 26, 31, 33syl3anc 1185 . . 3
3525simp1d 970 . . . 4
3630simp2d 971 . . . 4
3712, 32rngcl 15679 . . . 4
381, 35, 36, 37syl3anc 1185 . . 3
39 rnggrp 15671 . . . . . 6
4039ad2antrr 708 . . . . 5
4112, 32rngcl 15679 . . . . . 6
421, 35, 31, 41syl3anc 1185 . . . . 5
4312, 22grpnnncan2 14886 . . . . 5
4440, 38, 34, 42, 43syl13anc 1187 . . . 4
4512, 32, 22, 1, 35, 36, 31rngsubdi 15710 . . . . . 6
4630simp3d 972 . . . . . . 7
472, 12, 32lidlmcl 16290 . . . . . . 7 LIdeal
481, 9, 35, 46, 47syl22anc 1186 . . . . . 6
4945, 48eqeltrrd 2513 . . . . 5
50 eqid 2438 . . . . . . . 8 oppr oppr
5112, 32, 3, 50opprmul 15733 . . . . . . 7 oppr
5212, 32, 22, 1, 26, 35, 31rngsubdir 15711 . . . . . . 7
5351, 52syl5eq 2482 . . . . . 6 oppr
543opprrng 15738 . . . . . . . 8 oppr
5554ad2antrr 708 . . . . . . 7 oppr
567simprbi 452 . . . . . . . 8 LIdealoppr
5756ad2antlr 709 . . . . . . 7 LIdealoppr
5825simp3d 972 . . . . . . 7
593, 12opprbas 15736 . . . . . . . 8 oppr
604, 59, 50lidlmcl 16290 . . . . . . 7 oppr LIdealoppr oppr
6155, 57, 31, 58, 60syl22anc 1186 . . . . . 6 oppr
6253, 61eqeltrrd 2513 . . . . 5
632, 22lidlsubcl 16289 . . . . 5 LIdeal
641, 9, 49, 62, 63syl22anc 1186 . . . 4
6544, 64eqeltrrd 2513 . . 3
6612, 22, 13eqgabl 15456 . . . 4
6719, 21, 66syl2anc 644 . . 3
6834, 38, 65, 67mpbir3and 1138 . 2
6968ex 425 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083   wer 6904  cbs 13471  cmulr 13532  cgrp 14687  csg 14690  SubGrpcsubg 14940   ~QG cqg 14942  cabel 15415  crg 15662  opprcoppr 15729  LIdealclidl 16244  2Idealc2idl 16304 This theorem is referenced by:  divs1  16308  divsrhm  16310  divscrng  16313 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-eqg 14945  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-2idl 16305
 Copyright terms: Public domain W3C validator