Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnjaN Unicode version

Theorem 2llnjaN 30377
 Description: The join of two different lattice lines in a lattice plane equals the plane (version of 2llnjN 30378 in terms of atoms). (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnja.l
2llnja.j
2llnja.a
2llnja.n
2llnja.p
Assertion
Ref Expression
2llnjaN

Proof of Theorem 2llnjaN
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2
2 2llnja.l . 2
3 simpl1l 1006 . . 3
4 hllat 30175 . . 3
53, 4syl 15 . 2
6 simpl21 1033 . . . 4
7 simpl22 1034 . . . 4
8 2llnja.j . . . . 5
9 2llnja.a . . . . 5
101, 8, 9hlatjcl 30178 . . . 4
113, 6, 7, 10syl3anc 1182 . . 3
12 simpl31 1036 . . . 4
13 simpl32 1037 . . . 4
141, 8, 9hlatjcl 30178 . . . 4
153, 12, 13, 14syl3anc 1182 . . 3
161, 8latjcl 14172 . . 3
175, 11, 15, 16syl3anc 1182 . 2
18 simpl1r 1007 . . 3
19 2llnja.p . . . 4
201, 19lplnbase 30345 . . 3
2118, 20syl 15 . 2
22 simpr1 961 . . 3
23 simpr2 962 . . 3
241, 2, 8latjle12 14184 . . . 4
255, 11, 15, 21, 24syl13anc 1184 . . 3
2622, 23, 25mpbi2and 887 . 2
271, 9atbase 30101 . . . . . . . . . 10
2813, 27syl 15 . . . . . . . . 9
291, 8latjcl 14172 . . . . . . . . 9
305, 11, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . 8
311, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . 11
3212, 31syl 15 . . . . . . . . . 10
331, 2, 8latlej2 14183 . . . . . . . . . 10
345, 32, 28, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
351, 2, 8latjlej2 14188 . . . . . . . . . 10
365, 28, 15, 11, 35syl13anc 1184 . . . . . . . . 9
3734, 36mpd 14 . . . . . . . 8
381, 2, 5, 30, 17, 21, 37, 26lattrd 14180 . . . . . . 7
39383adant3 975 . . . . . 6
40 simp11l 1066 . . . . . . 7
41 simp121 1087 . . . . . . . 8
42 simp122 1088 . . . . . . . 8
43 simp132 1091 . . . . . . . 8
44 simp123 1089 . . . . . . . 8
45 simp23 990 . . . . . . . . 9
46 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
481, 2, 8latjle12 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
495, 32, 28, 11, 48syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50493adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
5246, 47, 51mpbi2and 887 . . . . . . . . . . . . 13
53 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16
542, 8, 9ps-1 30288 . . . . . . . . . . . . . . . 16
553, 53, 6, 7, 54syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15
56553adant3 975 . . . . . . . . . . . . . 14
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
5852, 57mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
5958eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
6059ex 423 . . . . . . . . . 10
6160necon3ad 2495 . . . . . . . . 9
6245, 61mpd 14 . . . . . . . 8
632, 8, 9, 19lplni2 30348 . . . . . . . 8
6440, 41, 42, 43, 44, 62, 63syl132anc 1200 . . . . . . 7
65 simp11r 1067 . . . . . . 7
662, 19lplncmp 30373 . . . . . . 7
6740, 64, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . 6
6839, 67mpbid 201 . . . . 5
69373adant3 975 . . . . 5
7068, 69eqbrtrrd 4061 . . . 4
71703expia 1153 . . 3
721, 8latjcl 14172 . . . . . . . . 9
735, 11, 32, 72syl3anc 1182 . . . . . . . 8
741, 2, 8latlej1 14182 . . . . . . . . . 10
755, 32, 28, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
761, 2, 8latjlej2 14188 . . . . . . . . . 10
775, 32, 15, 11, 76syl13anc 1184 . . . . . . . . 9
7875, 77mpd 14 . . . . . . . 8
791, 2, 5, 73, 17, 21, 78, 26lattrd 14180 . . . . . . 7
80793adant3 975 . . . . . 6
81 simp11l 1066 . . . . . . 7
82 simp121 1087 . . . . . . . 8
83 simp122 1088 . . . . . . . 8
84 simp131 1090 . . . . . . . 8
85 simp123 1089 . . . . . . . 8
86 simp3 957 . . . . . . . 8
872, 8, 9, 19lplni2 30348 . . . . . . . 8
8881, 82, 83, 84, 85, 86, 87syl132anc 1200 . . . . . . 7
89 simp11r 1067 . . . . . . 7
902, 19lplncmp 30373 . . . . . . 7
9181, 88, 89, 90syl3anc 1182 . . . . . 6
9280, 91mpbid 201 . . . . 5
93783adant3 975 . . . . 5
9492, 93eqbrtrrd 4061 . . . 4
95943expia 1153 . . 3
9671, 95pm2.61d 150 . 2
971, 2, 5, 17, 21, 26, 96latasymd 14179 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  cple 13231  cjn 14094  clat 14167  catm 30075  chlt 30162  clln 30302  clpl 30303 This theorem is referenced by:  2llnjN  30378 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310
 Copyright terms: Public domain W3C validator