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Theorem 2lnat 29900
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
2lnat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lnat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2lnat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2lnat.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
2lnat.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
2lnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )

Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 29477 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  AtLat )
4 hllat 29480 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  X  e.  B )
7 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  Y  e.  B )
8 2lnat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 2lnat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
108, 9latmcl 14409 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
115, 6, 7, 10syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
12 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  )
13 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
14 2lnat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
15 2lnat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
168, 13, 14, 15atlex 29433 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  =/= 
.0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
173, 11, 12, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
18 simp13l 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  =/=  Y )
19 simp11 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
20 simp12l 1070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  X )  e.  N
)
21 simp12r 1071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
22 2lnat.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( Lines `  K )
23 2lnat.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( pmap `  K
)
248, 13, 22, 23lncmp 29899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
2519, 20, 21, 24syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
26 simp111 1086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  HL )
2726, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Lat )
28 simp112 1087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  e.  B )
29 simp113 1088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  Y  e.  B )
308, 13, 9latleeqm1 14437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3225, 31bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3332necon3bid 2587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3418, 33mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  X
)
35 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
368, 13, 9latmle1 14434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
3727, 28, 29, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )
38 hlpos 29482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3926, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Poset
)
408, 15atbase 29406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
41403ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  B )
4227, 28, 29, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  A )
448, 13, 27, 41, 42, 28, 35, 37lattrd 14416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) X )
45 eqid 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
468, 13, 45, 15, 22, 23lncvrat 29898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  p ( le `  K ) X ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
4726, 28, 43, 20, 44, 46syl32anc 1192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p (  <o  `  K ) X )
488, 13, 45cvrnbtwn4 29396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  /\  p (  <o  `  K
) X )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
4939, 41, 28, 42, 47, 48syl131anc 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5035, 37, 49mpbi2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
51 neor 2636 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5352necon1d 2621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5434, 53mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) )
55543exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  (
p  e.  A  -> 
( p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X 
./\  Y ) ) ) )
5655reximdvai 2761 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) ) )
5717, 56mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
58 risset 2698 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
5957, 58sylibr 204 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   E.wrex 2652   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   lecple 13465   Posetcpo 14326   meetcmee 14331   0.cp0 14395   Latclat 14403    <o ccvr 29379   Atomscatm 29380   AtLatcal 29381   HLchlt 29467   Linesclines 29610   pmapcpmap 29613
This theorem is referenced by:  cdleme3h  30351  cdleme7ga  30364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-lat 14404  df-clat 14466  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-lines 29617  df-pmap 29620
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