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Theorem 2lnat 30595
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
2lnat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lnat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2lnat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2lnat.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
2lnat.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
2lnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )

Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 30172 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  AtLat )
4 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  X  e.  B )
7 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  Y  e.  B )
8 2lnat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 2lnat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
108, 9latmcl 14173 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
115, 6, 7, 10syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
12 simp3r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  )
13 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
14 2lnat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
15 2lnat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
168, 13, 14, 15atlex 30128 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  =/= 
.0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
173, 11, 12, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
18 simp13l 1070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  =/=  Y )
19 simp11 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
20 simp12l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  X )  e.  N
)
21 simp12r 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
22 2lnat.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( Lines `  K )
23 2lnat.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( pmap `  K
)
248, 13, 22, 23lncmp 30594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
2519, 20, 21, 24syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
26 simp111 1084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  HL )
2726, 4syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Lat )
28 simp112 1085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  e.  B )
29 simp113 1086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  Y  e.  B )
308, 13, 9latleeqm1 14201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3225, 31bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3332necon3bid 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3418, 33mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  X
)
35 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
368, 13, 9latmle1 14198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
3727, 28, 29, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )
38 hlpos 30177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3926, 38syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Poset
)
408, 15atbase 30101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  B )
4227, 28, 29, 10syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  A )
448, 13, 27, 41, 42, 28, 35, 37lattrd 14180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) X )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
468, 13, 45, 15, 22, 23lncvrat 30593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  p ( le `  K ) X ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
4726, 28, 43, 20, 44, 46syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p (  <o  `  K ) X )
488, 13, 45cvrnbtwn4 30091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  /\  p (  <o  `  K
) X )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
4939, 41, 28, 42, 47, 48syl131anc 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5035, 37, 49mpbi2and 887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
51 neor 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5250, 51sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5352necon1d 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5434, 53mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) )
55543exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  (
p  e.  A  -> 
( p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X 
./\  Y ) ) ) )
5655reximdvai 2666 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) ) )
5717, 56mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
58 risset 2603 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
5957, 58sylibr 203 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   meetcmee 14095   0.cp0 14159   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   AtLatcal 30076   HLchlt 30162   Linesclines 30305   pmapcpmap 30308
This theorem is referenced by:  cdleme3h  31046  cdleme7ga  31059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lines 30312  df-pmap 30315
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