Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcctbss Unicode version

Theorem 2ndcctbss 17197
 Description: If a topology is second-countable, every base has a countable subset which is a base. Exercise 16B2 in Willard. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcctbss.1
2ndcctbss.2
2ndcctbss.3
Assertion
Ref Expression
2ndcctbss
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem 2ndcctbss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3
2 is2ndc 17188 . . 3
31, 2sylib 188 . 2
4 vex 2804 . . . . . . . . 9
54, 4xpex 4817 . . . . . . . 8
6 3simpa 952 . . . . . . . . . 10
76ssopab2i 4308 . . . . . . . . 9
8 2ndcctbss.3 . . . . . . . . 9
9 df-xp 4711 . . . . . . . . 9
107, 8, 93sstr4i 3230 . . . . . . . 8
11 ssdomg 6923 . . . . . . . 8
125, 10, 11mp2 17 . . . . . . 7
134xpdom1 6977 . . . . . . . . . . 11
14 omex 7360 . . . . . . . . . . . 12
1514xpdom2 6973 . . . . . . . . . . 11
16 domtr 6930 . . . . . . . . . . 11
1713, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
18 xpomen 7659 . . . . . . . . . 10
19 domentr 6936 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . . 9
2120adantr 451 . . . . . . . 8
2221ad2antll 709 . . . . . . 7
23 domtr 6930 . . . . . . 7
2412, 22, 23sylancr 644 . . . . . 6
258relopabi 4827 . . . . . . . . . . 11
26 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
27 1st2nd 6182 . . . . . . . . . . 11
2825, 26, 27sylancr 644 . . . . . . . . . 10
2928, 26eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9
30 df-br 4040 . . . . . . . . . . 11
31 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12
32 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12
33 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13
35 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
3635eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13
37 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . 14
4039rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13
4134, 36, 403anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . 12
4231, 32, 41, 8braba 4298 . . . . . . . . . . 11
4330, 42bitr3i 242 . . . . . . . . . 10
4443simp3bi 972 . . . . . . . . 9
4529, 44syl 15 . . . . . . . 8
46 fvi 5595 . . . . . . . . . 10
4746ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9
4847rexeqdv 2756 . . . . . . . 8
4945, 48mpbird 223 . . . . . . 7
5049ralrimiva 2639 . . . . . 6
51 fvex 5555 . . . . . . 7
52 sseq2 3213 . . . . . . . 8
53 sseq1 3212 . . . . . . . 8
5452, 53anbi12d 691 . . . . . . 7
5551, 54axcc4dom 8083 . . . . . 6
5624, 50, 55syl2anc 642 . . . . 5
5746ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
58 feq3 5393 . . . . . . . . 9
5957, 58syl 15 . . . . . . . 8
6059anbi1d 685 . . . . . . 7
61 2ndctop 17189 . . . . . . . . . . . . . 14
6261adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
6362ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
64 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13
66 bastg 16720 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14
68 2ndcctbss.2 . . . . . . . . . . . . . 14
6967, 68syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . 13
7065, 69sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12
71 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7471, 73eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 tg2 16719 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 bastg 16720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7978ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8079ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8168eqeq2i 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8281biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8382adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8483ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8680, 85sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8886, 87sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 tg2 16719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9188, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9266ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9473ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9594, 68syl6req 2345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9693, 95sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
97 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9896, 97sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100 tg2 16719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10198, 99, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
103102ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
104103ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
105104ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
106 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10787ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
108 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
110 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
111110ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
112 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
113 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
114112, 113anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
115114rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
116108, 109, 111, 115syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
117 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
118 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
119 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
120 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
121120eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
122 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
123122eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
125 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
126124, 125bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
127126rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
128121, 123, 1273anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
129118, 119, 128, 8braba 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
130117, 129bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
131106, 107, 116, 130syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
132 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
133105, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
134 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
135 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
136 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
137 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
138110ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
139136, 137, 138, 115syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
140134, 135, 139, 130syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
141 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
142 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
143141, 142sseq12d 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
144 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
145142, 144sseq12d 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
146143, 145anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
147146rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
148140, 147syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
149118, 119op1st 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
150149sseq1i 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
151118, 119op2nd 6145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
152151sseq2i 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
153150, 152anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
154 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
155 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
156155ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
157154, 156sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
158 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
159 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
160159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
161158, 160sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
162157, 161jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
163162ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
164153, 163syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
165148, 164syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
166165com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
167166exp4c 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
168167ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
169168adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
170169imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
171 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
172 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
173171, 172anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
174173rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
175133, 170, 174syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
176175exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
177176rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
178101, 177mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
179178exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
180179rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18191, 180mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
182181exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183182rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15
18477, 183mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14
185184expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
186185ralrimivv 2647 . . . . . . . . . . . 12
187 basgen2 16743 . . . . . . . . . . . 12
18863, 70, 186, 187syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
189188, 63eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10
190 tgclb 16724 . . . . . . . . . 10
191189, 190sylibr 203 . . . . . . . . 9
192 omelon 7363 . . . . . . . . . . . 12
19324adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
194 ondomen 7680 . . . . . . . . . . . 12
195192, 193, 194sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
196102ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12
197 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . 12
198196, 197sylib 188 . . . . . . . . . . 11
199 fodomnum 7700 . . . . . . . . . . 11
200195, 198, 199sylc 56 . . . . . . . . . 10
201 domtr 6930 . . . . . . . . . 10
202200, 193, 201syl2anc 642 . . . . . . . . 9
203188eqcomd 2301 . . . . . . . . 9
204 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
205 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11
206 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
207206eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11
208204, 205, 2073anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10
209208rspcev 2897 . . . . . . . . 9
210191, 202, 65, 203, 209syl13anc 1184 . . . . . . . 8
211210ex 423 . . . . . . 7
21260, 211sylbid 206 . . . . . 6
213212exlimdv 1626 . . . . 5
21456, 213mpd 14 . . . 4
215214exp32 588 . . 3
216215rexlimdv 2679 . 2
2173, 216mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  cop 3656  cuni 3843   class class class wbr 4039  copab 4092   cid 4320  con0 4408  com 4672   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706   wrel 4710   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  c1st 6136  c2nd 6137   cen 6876   cdom 6877  ccrd 7584  ctg 13358  ctop 16647  ctb 16651  c2ndc 17180 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-2ndc 17182
 Copyright terms: Public domain W3C validator